On suppose qu'il existe $ h : [a;b] \to \mathbb{R} $ telle qu'il existe $ x_0 \in [a;b] $ tel que $ h(x_0)<g(x_0) $.
- Pour tout x dans un intervalle sur lequel f atteint son max et est croissante (cas 1), g(x)=f(x). Comme $ h(x) \geq f(x) $, g(x)=h(x) pour obtenir le plus petit majorant.
- Pour tout x dans un intervalle ]a';b'[ avec f(a')=g(a') sur lequel f(x)<f(a') (cas 2), g(x)=g(a'). Or d'après ce qui précède h(a')=g(a'). S'il existait $ x_0 \in ]a';b'] $ tel que $ h(x_0)<g(x_0)=g(a') $ on aurait donc $ h(x_0)<h(a') $ et h décroissante d'où contradiction.
Donc sur I, h=g.
Pour la continuité sur I :
- pour tout x d'un intervalle du cas 1, g(x)=f(x) donc g est continue par continuité de f ;
- pour tout x d'un intervalle ]a';b'] du cas 2, g(x)=g(a') donc g est continue par continuité de la fonction constante ;
- reste à s'intéresser aux points de jonction du cas 1 et du cas 2.
On a donc un intervalle I'=[a';b'] avec f(a')=g(a')=f(b')=g(b') tel que pour tout x dans I', f(x)=<f(a')=f(b'). De plus sur I''=[b';c'], f est croissante et donc f(x)=g(x).
Soient $ u:I' \to \mathbb{R}, v:I'' \to \mathbb{R} $ telles que u(x)=g(x) et v(x)=g(x) sur I' et I'' resp., continues d'après ce qui précède.
Soit $ \epsilon \in I $. Il existe $ \eta_1, \eta_2 \in I $ tels que pour tout x tel que $ \mid x-b' \mid < \eta_1, \mid x-b' \mid < \eta_2 $, $ \mid u(x) - u(b') \mid < \epsilon, \mid v(x) - v(b') \mid < \epsilon $. On prend alors $ min(\eta_1, \eta_2) $ et on remplace u et v par g pour achever le raisonnement.
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