Exercices de MPSI

[ticotanar]

Ouais ça va ^^ juste un peu rapide la fin (et rédigé de façon maladroite ^^), faut peut être justier qu'une telle solution est continue en 0 (Ok c'est un limite de cours) et ailleurs c'est évident.
Tu peux conclure que les solutions sont { x->0 si x=0 ,x-> Cte * x *ln|x| sinon}.

[Alexis73]

Oui oui j'ai abrégé la fin !
Merci beaucoup en tout cas

[spemaths]

Un truc sympa de pré rentrée :

1) Soit f et g 2 fonctions n fois dérivables. Montrer la formule de Leibniz :
$ (f.g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} $

2) En dérivant n fois la fonction $ x \to x^{2n} $ donner une expression simple de
$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $

[brank]

Tu trouves cet exo sympa ?

[kwalkwalkwal]

Moi je le trouve plutôt sympa, surtout la question 2 qui est une belle application de la question 1

D'ailleurs quelqu'un avait réfléchit à l'exo 3 du Cassini des futurs MPSI ? Personnellement j'ai trouvé une solution mais elle est assez dure à rédiger !

[Magnéthorax]

Bonjour Atoine-,

Exercice 1.b

$ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], 0\leq t^{n+1}\leq t^{n}\Leftrightarrow 1\leq I_{n+1}\leq I_n $. $ (I_n) $ décroissante et minorée par 1 donc convergente vers un réel $ l\geq 1 $.
Posons $ u = t^{n} $. $ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], t^{n}=u\in \left [ 0;1 \right ] $ et d'après 1.a, $ \forall u\in \left [ 0;1 \right ], e^{0}\leq e^{u}\leq 1 + (e-1)t^{n} \Leftrightarrow 1\leq \ In \leq 1 + \frac{e-1}{n+1} $ donc d'après le théorème d'encradrement, $ In \rightarrow 1 $.

Je vous avoue que pour le 2 j'en ai aucune idée.

Je me permets de vous conseiller de laisser tomber momentanément les quantificateurs. Ce n'est pas qu'un problème de rédaction, c'est un problème de logique. A ce titre, vous pouvez être assez lourdement pénalisé. Rédigez plutôt en Français en utilisant des connecteurs logiques comme "donc".

[Kallio]

Bonjour, j'ai pas vraiment réfléchi à ça au moment d'écrire la réponse je voulais surtout faire une réponse courte, mais merci du conseil ! Pour vous quel est le problème précisément ?

[~Syna~]

Si ne je dis pas de bêtises, quand tu intègres, la conservation de l'ordre est une implication simple et pas une équivalence.

[Magnéthorax]

Antoine- : en fait vous pouvez aussi donner une réponse courte sans utiliser le moindre quantificateur. Tout dépend du niveau de détail que vous souhaitez transmettre au lecteur.

Je pense que l'usage du Français permet dans un premier temps d'éviter les erreurs de logique du style remplacer un $ \Rightarrow $ par un $ \Leftrightarrow $.

[Kallio]

Ah oui pardon pour les deux équivalences ! Peut-être que je pourrais essayer vous envoyer une réponse rédigée un peu différemment par mp pour voir si il y a toujours des erreurs de logique ?