Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de MPSI

Message par Samuel.A » 24 juil. 2018 16:29

Soit P un tel polynôme, on le suppose non constant.
P est développable en série entière de rayon de convergence infini donc f-P également et s'annule sur A.
Puisque f est bornée et P non, f-P diverge vers + ou - l'infini en + et - l'infini et donc A est bornée.
A partir de là, puisque A est infinie et bornée on peut trouver a un point d'accumulation pour A.
Par continuité de f-P en a, f-P(a)=0

A partir de là on refait la démonstration du théorème des zéros isolés.

Petites remarques : Justement f est polynômiale au final puisque nécessairement nulle, et puis je n'ai pas réussi à prouver le résultat si l'on autorise P à être constant, et en fait j'ai trouvé un contre exemple, On prend pour f le cosinus et pour P le polynôme 1, ils coïncident sur une partie infinie de R.

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Re: Exercices de MPSI

Message par gardener » 24 juil. 2018 17:43

Samuel.A > oui ! En effet, remplacer polynome nul par constant dans mon énoncé.
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 24 juil. 2018 19:47

gardener a écrit :
24 juil. 2018 15:50
L'argument me paraît boiteux. Un exemple: la fonction nulle (polynomiale !) coïncide avec $ x\mapsto \sin(x)\sin(1/x) $ prolongée avec la valeur 0 en 0 sur une partie infinie de $ \mathbb{R} $. Par contre, on peut montrer ceci (mais on s'éloigne un peu du programme de MPSI) :

oui j'ai oublié de signaler qu'on s’intéresse aux polynômes non constants .

sinon par exemple pour $ \cos $ il suffit de choisir une constante de $ [-1,1] $ .

Ma preuve de l'existence du réel $ s $ , par exemple je suppose $ A^{+} $ infini , par caractérisation de la borne inf si $ s=\inf(A^{+}) $ par exemple , on dispose de $ (s_{n}) $ d'éléments de $ A^{+} $ qui converge vers $ s $
par passage à la limite dans $ P(s_{n})=f(s_{n}) $ , on obtient $ P(s)=f(s) $ .

Soit $ P_{k}:'' ~~\forall j \in [[0,k]]~~|\exists (a^{j}_{n}) ~~ a^{j}_{n} \to s ~~~,P^{(j)}(s)=f^{(j)}(s)~~'' $

On pose choisir $ (s_{n}) $ strictement croissante , posant $ g(x)=P(x)-f(x) $ on applique Rolle entre $ ]s_{i},s_{i+1}[ $ on construit $ c_{i} $ de sorte que $ g'(c_{i})=0 $ , soit $ P^{(1)}(c_{i})=f^{(1)}(c_{i}) $

avec $ c_{n} \to s $ donc $ f^{(1)}(s)=P^{(1)}(s) $ ce qui prouve $ P_{1} $, le passage de $ P_{k} $ à $ P_{k+1} $ est similaire , ce qui permet de conclure par récurrence.
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Re: Exercices de MPSI

Message par donnerwetter » 24 juil. 2018 20:11

Et qu'en est-il de P vérifiant $ \forall x \in A, P(x)=x^{\pi} $ ? (Les éléments de A sont à valeurs positives)

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 24 juil. 2018 22:04

vous essayez de contourner le fait que pour une puissance rationnel on conclut comme avec ce qu'a proposé @Nabuco .

Dans ce cas l'approche que nous avons proposé marche toujours il me semble, soit $ s\geq 0 $ définie comme précédemment si $ s \neq 0 $ en prenant $ k=deg(P)+1 $, on obtient une contradiction ( un membre de l'égalité nulle tandis que l'autre ne l'est pas) donc $ s=0 $ et par suite $ P\equiv 0 $ ce qui est impossible , encore une fois un tel $ A $ n'existe pas .
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Re: Exercices de MPSI

Message par Samuel.A » 24 juil. 2018 23:10

Oty il y a un problème de notation dans ton précédent message.
De plus il me semble que choisir pour s la borne inférieure de A+ n'est pas judicieux car ce point n'est en général pas un point d'accumulation de A. Il faut choisir un point d'accumulation de A pour pouvoir affirmer l'existence d'une suite de A non stationnaire qui tend vers ce point, on obtient un tel moi t par exemple avec ce que j'ai proposé en réponse à gardener.

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 24 juil. 2018 23:42

@Samuel.A oui en rédigeant j'ai remarquer ce problème pour la borne inf , je cherche toujours comment le contourné , Dans votre argument il y avait possibilité de montrer $ A $ bornée pour la fonction \cos , cela ne semble pas toujours possible, je me trompe ?
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Re: Exercices de MPSI

Message par Samuel.A » 24 juil. 2018 23:46

J'ai montré que A est nécessairement borné dès lors que le polynôme P considéré diverge en l'infini (n'est pas constant)

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Message par oty20 » 25 juil. 2018 00:02

dans l'énoncé de @gardener , f est bornée ....

$ f=x^{\pi} $
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » 25 juil. 2018 00:07

oty20 a écrit :
25 juil. 2018 00:02
dans l'énoncé de @gardener , f est bornée ....

$ f=x^{\pi} $
J'ai du mal à comprendre le problème dans ce cas A est borné par un simple équivalent en l'infini (et car pi est non entier) non ?

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