Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de MPSI

Message par AhmedNasredinne » 05 sept. 2019 21:28

Trouver tous les couples (p, q) ∈ $ \mathbb{Z}*\mathbb{Z^{*}} $ tels que les quatre trinômes :
X2 ± pX ± q soient simultanément scindés sur $ \mathbb{Z} $
Modifié en dernier par AhmedNasredinne le 09 sept. 2019 22:24, modifié 2 fois.
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Re: Exercices de MPSI

Message par Calli » 08 sept. 2019 18:45

AhmedNasredinne a écrit :
05 sept. 2019 21:28
Trouver tous les couples (p, q) ∈ $ \mathbb{Z}*\mathbb{Z^{*}} $ tels que les quatre trinômes :
X2 ± pX ± q
soient simultanément scindés sur $ \mathbb{Z} $.
Il suffit qu'ils soient scindés sur $\mathbb Q$ car, si $\frac{a}b \in \mathbb Q$ est racine de $X^2 \pm pX \pm q$ avec $a\wedge b=1$, on a $a^2 \pm pab \pm qb^2 =0$, puis $b | a^2$ et ensuite $b|1$. Et, pour cela, il faut et il suffit que $\sqrt{p^2 \pm 4q} \in \mathbb Q$, soit $\fbox{$p^2 - 4q$ et $p^2 + 4q$ sont des carrés parfaits}$. Or il existe une infinité de triplets de carrés parfaits en progression arithmétique de raison multiple de 4 (tous les $(k^2, 25 k^2, 49 k^2)$ par exemple), ce qui donne plein de couples $(p,q)$ qui marchent (ex: $X^2 \pm 5X \pm 6$). J'ai l'impression qu'on ne peut pas dire grand chose de plus. AhmedNasredinne, connais-tu une autre solution ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par A-Lise » 25 juin 2020 22:00

V.R. a écrit :
08 juil. 2017 18:28


Un MOOC porté par l'Ecole Polytechnique sur la plateforme FUN (gratuit) va commencer fin juillet pour justement réviser les notions de TS pour aborder l'enseignement supérieur dans les meilleures conditions.
https://www.fun-mooc.fr/courses/course- ... ion1/about

Les inscriptions sont déjà fermées pour la session de cette année, savez-vous ce qu'il est possible de faire ou si une nouvelle session va réouvrir avant la rentrée ?

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Message par AhmedNasredinne » 28 sept. 2020 12:23

Petit exo sympas :

Calcul de $ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k-1}k \binom n k $
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Re: Somme

Message par Beatboxer » 28 sept. 2020 16:45

Formule du chef + binôme de newton
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