Théorème du prolongement dérivable...

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 26

Enregistré le : 15 août 2005 19:55

Théorème du prolongement dérivable...

Message par fredo118 » 28 janv. 2006 22:29

J'ai entendu parlé du théoeème du prolongement dérivable qui sert à montrer qu'une fonction $ C^{p} $ par morceaux est de classe $ C^{p} $ sur le domaine de définition.Je ne sais pas si quelqu'un pourrait me préciser ses hypothèses.Merci d'avance.[/tex]
fradiqué

Messages : 5477

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Message par JeanN » 28 janv. 2006 23:06

Théorème de prolongement des fonctions de classe C1
Soit f continue sur [a,b], de classe C1 sur [a,b[.
Si f ' admet une limite finie L en b,alors f est de classe C1 sur [a,b], et f '(b) = L.
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 26

Enregistré le : 15 août 2005 19:55

Message par fredo118 » 29 janv. 2006 19:06

En fait on démontre mon théorème par récurrence avec comme initialisation le théorème de prolongement des fonctions de classe C1.Et donc on peut l'énoncé comme suit:"Soit f une fonction continue sur [a,b](respectivement sur I),de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b[(resp. $ C^{(p)} $ par morceaux sur I). Si $ f^{(p)} $ admet une limite L en b (resp. si $ f^{(p)} $ est prolongeable par continuité aux points de discontinuités) alors f est de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b] (resp. de classe $ C^{(p)} $sur I) et $ f^{(p)}(b) $=L". ça me paraît cool comme théorème :D .
fradiqué

Avatar du membre

Messages : 3695

Enregistré le : 13 févr. 2004 15:11

Message par » 29 janv. 2006 19:25

fredo118 a écrit :En fait on démontre mon théorème par récurrence avec comme initialisation le théorème de prolongement des fonctions de classe C1.Et donc on peut l'énoncé comme suit:"Soit f une fonction continue sur [a,b](respectivement sur I),de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b[(resp. $ C^{(p)} $ par morceaux sur I). Si $ f^{(p)} $ admet une limite L en b (resp. si $ f^{(p)} $ est prolongeable par continuité aux points de discontinuités) alors f est de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b] (resp. de classe $ C^{(p)} $sur I) et $ f^{(p)}(b) $=L". ça me paraît cool comme théorème :D .
Il l'est. A titre d'exercice, tu peux l'utiliser pour démontrer qu'il existe une fonction $ C^{\infty} $ de $ \mathbb{R} $ dans lui-même nulle en dehors d'un segment donné mais non identiquement nulle. Cette construction est marrante en soi et surtout sert à un niveau plus élevé pour construire proprement la théorie des distributions.

Messages : 26

Enregistré le : 15 août 2005 19:55

Message par fredo118 » 31 janv. 2006 20:44

La fonction escalier sur [0;1] et nulle sur ailleurs.Elle me paraît faire l'affaire en considérant sa subdivision $ (a_{i})_{i\in\I} $et en appliquant le théorème de prolongement dérivable sur chaque intervalle $ [a_{i},a_{i+1}] $.cqfd
fradiqué

Avatar du membre

Messages : 3695

Enregistré le : 13 févr. 2004 15:11

Message par » 31 janv. 2006 20:53

fredo118 a écrit :La fonction escalier sur [0;1] et nulle sur ailleurs.Elle me paraît faire l'affaire en considérant sa subdivision $ (a_{i})_{i\in\I} $et en appliquant le théorème de prolongement dérivable sur chaque intervalle $ [a_{i},a_{i+1}] $.cqfd
:shock:
Une fonction en escalier n'est continue que si elle est constante, vu qu'elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs... A fortiori, pas $ C^{\infty} $!
N'oublions pas qu'il y a une hypothèse de continuité dans le théorème sus-cité, et que tu viens juste en fait de démontrer qu'on ne peut pas s'en passer.

Messages : 70

Enregistré le : 19 juil. 2005 18:27

Localisation : Canada

Message par jojo » 31 janv. 2006 21:53

Est ce qu'une fonction en escalier est nécessairement définie sur un intervalle?

Par exemple f définie sur [0,1] U [2,3] par
f(x)=1 sur [0,1]
f(x)=2 sur [2,3]
est elle en escalier?

Avatar du membre

Messages : 3695

Enregistré le : 13 févr. 2004 15:11

Message par » 31 janv. 2006 22:35

jojo a écrit :Est ce qu'une fonction en escalier est nécessairement définie sur un intervalle?
Oui. Enfin bon, on peut toujours étendre les définitions comme on veut, mais en prépa, elles sont d'abord définies sur les segments, puis on peut étendre cette définition de manière intéressante aux intervalles quelconques. Cependant, ça n'a que peu de rapport avec la question initiale (qui demandait des fonctions définies sur R).

Messages : 70

Enregistré le : 19 juil. 2005 18:27

Localisation : Canada

Message par jojo » 31 janv. 2006 22:44

C'était juste une question innoncente...
Merci.
A+

Messages : 26

Enregistré le : 15 août 2005 19:55

Message par fredo118 » 01 févr. 2006 21:33

:shock: zut!Je me suis encore planté la reponse était à porté il fallait juste prendre la constante sur un segment.
fradiqué

Répondre