Arithmétique

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Arithmétique

Message par HAMOUCHE » 04 févr. 2006 03:04

Slt tt le monde, je vous propose un exercice:

-Soit (Sn) une suite définie par $ {\displaystyle_{\sum_{p=1}^{n}{p^{3}}}} $

-Soit Dn le PGCD de Sn et Sn+1.

Montrer que, pour n > 1, Dn est différent de 1 et que trois termes consécutifs

Sn , Sn+1 et Sn+2 de la suite (Sn) sont premiers entre eux dans leur ensemble.
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Message par bobca » 04 févr. 2006 07:57

en fait Sn se factorise en produit de deux carrés très simples !
Robert Cabane
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Message par HAMOUCHE » 04 févr. 2006 13:20

oui c'est vraie.on peux dire que $ S_{n}={\displaystyle_({\sum_{p=1}^{n}{p})^{2} $.On en déduit alors que $ S_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} $
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Message par » 04 févr. 2006 14:49

Au sujet de cette propriété remarquable, on peut se poser la question suivante: déterminer tous les quadruplets d'entiers naturels non nuls (a,b,c,d) tels que, pour tout entier naturel non nul n, $ \displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n}{k^{a}}\right)^{b}=\left(\sum_{k=1}^{n}{k^{c}}\right)^{d} $.
D'après moi, en dehors des cas triviaux où a=c et b=d, il n'y a que (1,2,3,1) qui convienne.

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Message par omamar3131 » 04 févr. 2006 20:16

Mû a écrit :Au sujet de cette propriété remarquable, on peut se poser la question suivante: déterminer tous les quadruplets d'entiers naturels non nuls (a,b,c,d) tels que, pour tout entier naturel non nul n, $ \displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n}{k^{a}}\right)^{b}=\left(\sum_{k=1}^{n}{k^{c}}\right)^{d} $.
D'après moi, en dehors des cas triviaux où a=c et b=d, il n'y a que (1,2,3,1) qui convienne.
La conjecture de Mû??

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Message par » 04 févr. 2006 22:39

Non ;-)
Quand je dis "d'après moi", c'est que je l'avais un jour démontré, mais il y avait pas mal de calculs et je n'ai pas le courage de le vérifier...

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Message par omamar3131 » 05 févr. 2006 03:25

Mû a écrit :Non ;-)
Quand je dis "d'après moi", c'est que je l'avais un jour démontré, mais il y avait pas mal de calculs et je n'ai pas le courage de le vérifier...
:lol: ..Aaah ok..hihihihi..me conseillez vous de prendre mon courage a deux mains?

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Message par » 05 févr. 2006 12:35

omamar3131 a écrit :
Mû a écrit :Non ;-)
Quand je dis "d'après moi", c'est que je l'avais un jour démontré, mais il y avait pas mal de calculs et je n'ai pas le courage de le vérifier...
:lol: ..Aaah ok..hihihihi..me conseillez vous de prendre mon courage a deux mains?
Oui, c'est facile, juste un peu calculatoire.

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