Theoreme de Lagrange

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Theoreme de Lagrange

Message par Petitom » 05 févr. 2006 12:51

Voici un exercice sur les groupe amenant à demontrer que le cardinal de tout sous groupe d'un groupe fini divise le cardinal du groupe.
Je suis en PCSI, et je m'échine à finir la dernière question

Soit G un groupe noté multiplicativement, et H un sous groupe de G.
On définit dans G la relation R par:
Qqsoit (x,y) € G² xRy <=> x(y)^-1 € H

1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur G
2) Quelle est la classe d'équivalence de e, neutre de G
3)Soit x un élément de G, et x sa classe d'équivalence pour la relation R.
Montrer que l'application x-> H, y|->x(y)^-1 est bijective
4)Dans cette question, on suppose G fini
a) Que peut on dire du cardinal de H par rapport à celui de G? Enoncer le resultat obtenu.
b)Montrer que si G a n éléments, alors Quelque soit x€G, x^n=e
c) Montrer que si n est premier, alors G est cyclique.


S'en suit deux applications sur l'ensemble des permutations sur un ensemble à 3 élémentes qui importe peu.

Mon problème est donc de montrer que G est cyclique, si quelqu'un à des idées ...
Etablir un sous groupe de G de cardinal n s'ecrivant sous la forme x^m?
[/tex]

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réponse

Message par HAMOUCHE » 06 févr. 2006 13:06

La première question:
Montrons que R est une relation d'équivalence:
_$ x^{-1}x $=1€H donc xRx,R est réflexive.
_xRy<=>$ x^{-1}y $€H<=>$ {(x^{-1}y)}^{-1} $€H<=>$ y^{-1}x $€H<=>yRx,donc R est symétrique.
_(xRy et yRz)=>($ x^{-1} $y€H et $ y^{-1} $z€H)=>($ x^{-1}yy^{-1}z=x^{-1}z $€H)=>(xRz),R est =>transitive.
Donc R est bien une relation d'équivalence.
je crois que j'ai pas des fautes dans cette démonstration.
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Message par Petitom » 06 févr. 2006 13:16

Non c'est bon, mais moi il me manque juste la dernière...
"There is no theory of evolution, just a list of creatures Chuck Norris allows to live

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Message par HAMOUCHE » 06 févr. 2006 13:27

ok . je vais réflechir ds la dérniere question et si je trouve quelque chose je la poste.
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...

Message par HAMOUCHE » 06 févr. 2006 14:06

réponse pour la dérnière quéstion:
Soit G un groupe d'ordre un nombre premier n.Soit $ a\neq1 $ dans G.Noton$ m $son ordre(m>1 car$ a\neq1 $ ).Comme m divise n, on a nécessairement m=n donc G est cyclique.
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