Sous Espace Vectoriel Supplementaire

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Message par rrico8 » 05 févr. 2006 23:24

Salut !
Je bloque sur l'exo suivant :
Soit E l'espace des fonction de classe C²
et F={f€E ; f(1)=f(2)=f(0)} UN sous ev de E
Determiner un des supplementaires de F !

Merci !
J'aimerais bien connaitre votre mode de raisonnement ains que la methode que vous avez utilisée pour determiner le supplementaire !
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Re: Sous Espace Vectoriel Supplementaire

Message par Sylvie Bonnet » 05 févr. 2006 23:50

rrico8 a écrit :Salut !
Je bloque sur l'exo suivant :
Soit E l'espace des fonction de classe C²
et F={f€E ; f(1)=f(2)=f(0)} UN sous ev de E
Determiner un des supplementaires de F !

Merci !
J'aimerais bien connaitre votre mode de raisonnement ains que la methode que vous avez utilisée pour determiner le supplementaire !

D'abord, on ne dit pas "le" supplémentaire, vu qu'il n'y a pas d'unicité...

Ensuite, il faudrait savoir quels outils sont à votre disposition, peut-être s'agit-il de vous faire appliquer un théorème du cours (tout supplémentaire du noyau d'une AL est isomorphe à l'image): ici, méthode utilisée: appliquer son cours!
Peut-être pas, et alors vous pouvez procéder par recherche de conditions nécessaires puis suffisantes sur un tel supplémentaire.
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Message par rrico8 » 06 févr. 2006 00:10

ça ne m'avance pas trop !
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Message par Sylvie Bonnet » 06 févr. 2006 00:28

PCSI, donc peut-être pas encore vu le théorème mentionné?
D'abord, F est gros, car seulement 2 conditions (f(0)-f(1)=0 et f(0)-f(2)=0), donc un supplémentaire sera petit..
On suppose qu'il existe un supplémentaire G à F dans E. Si h est élément de E, si on suppose qu'on peut écrire h=f+g avec f dans F et g dans G, on peut calculer g(0)-g(1) et g(0)-g(2) en fonction de h...faites-le. On ne peut donc pas faire n'importe quoi avec ces différences. Mais pour le reste, g peut être fabriquée de façon assez libre.
Prenons g(t)=a*t+b*t^2, calculons, ou plutôt calculez a et b pour que les différences prennent les bonnes valeurs, posez g ainsi, puis f=h-g et voyez si f(0)=f(1)=f(2).
on a trouvé un supplémentaire: G=vect(t->t,t->t^2)

Question: vect(t->t,t->1) convient-il?

Ensuite, vous pouvez trouver plein d'autres supplémentaires à F.

Avec le théorème, on a tout de suite que la codimension de F est 2, et on exhibe un plan convenable.
Sylvie Bonnet

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