Dérivabilité des séries entières

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Message par fredo118 » 12 févr. 2006 15:21

¤LaPc¤ a écrit :On se place sur un intervalle où f converge.
De là on prouve :
1. que f converge absolument ;
2. que la série de terme général $ n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $ converge;
3. et enfin on utilise l'inégalite de Taylor-Lagrange pour montrer que f est dérivable et que $ f'(x) = \sum^{+\infty}_{n=0}n\cdot a_n\cdot x^{n-1} $.

Voilà ...
Ben justement jojo ne dit rien concernant le deuxième point pour pouvoir déduire la continuité,compte-tenu du fait que l'intervalle de converge n'est pas explicité(I c'est compact ou pas ?).Effectivement si I est centré en 0 alors on sait que la série entière est normalement convergente sur l'intérieur de I.
fradiqué

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Message par jojo » 13 févr. 2006 19:50

fredo118 a écrit : Effectivement si I est centré en 0 alors on sait que la série entière est normalement convergente sur l'intérieur de I.
Non je ne pense pas, il suffit de regarder la série entiere de terme général x^n qui ne converge pas uniformement sur (0,1), donc pas normalement (en fait la non convergence normale peut se voir immédiatement en calculant la série des normes qui est tout simplement, sauf erreur (n+1).

Si on a une série entiere elle converge toujours uniformément sur un disque de centre a et de rayon r avec r strictement inférieur a R ou R est le rayon de convergence (éventuellement infini)
Le caractere compact ou non du disque de convergence ne change pas grand chose ...

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