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Divisibilité

Posté : 13 févr. 2006 11:35
par m@tix
Bonjour,
Dans un exercice dans lequel je dois démontrer la divisibilité d'une expression par un certain nombre, je tombe sur une expression contenant $ (n^4+1) $, $ n \in \mathbb{N} $.

Intuitivement, considérant $ n $ impair, on peut dire que $ (n^4+1) $ est divisible par $ 2 $. Mais je n'aime pas trop dire cela comme ça ... :roll:
Quelqu'un aurait-il une preuve simple à me proposer pour affirmer l'intuition?

Merci d'avance. :wink:

Re: Divisibilité

Posté : 13 févr. 2006 11:57
par
m@tix a écrit :Dans un exercice dans lequel je dois démontrer la divisibilité d'une expression par un certain nombre, je tombe sur une expression contenant $ (n^4+1) $, $ n \in \mathbb{N} $.

Intuitivement, considérant $ n $ impair, on peut dire que $ (n^4+1) $ est divisible par $ 2 $. Mais je n'aime pas trop dire cela comme ça ... :roll:
Quelqu'un aurait-il une preuve simple à me proposer pour affirmer l'intuition?
Tout puissance d'un nombre impair est impaire... car $ (2n+1)^2=4n^2+4n+1 $, etc. (on peut écrire des congruences si on veut).

Posté : 13 févr. 2006 12:02
par m@tix
ok merci!
Même si j'ai réussi entre temps à le montrer... :D

$ (2k+1)^4 = (4k^2 + 4k +1)^2 = 16k^4 + 16k^2 + 1 + 32k^3 + 8k^2 + 8k = 2(8k^4 + 16k^3+ 12k^2 + 4k) +1 $ de la forme $ 2p+1 $ :wink:

Posté : 13 févr. 2006 17:12
par Cyrano
tu es en prépa ou en terminale m@tix?

Posté : 13 févr. 2006 20:15
par JeanN
Si je ne m'abuse, M@tix est en prépa intégrée.