Axiome du choix

[Valvino]

Je viens de découvrir la définition de fonction de choix

A priori tu en as utilisé une en prépa (+axiome du choix) pour démontrer le théorème du prolongement C1

[Necklor]

Il existe une fonction $ c $ telle que :

Pour tout $ x $ de $ ]a,b[ $ : $ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c(x)) $ ...

[Pilzenbir]

Un résultat surprenant qui utilise l'axiome du choix : toute fonction de $ $\mathbb{R}$ $ dans $ $\mathbb{R}$ $ est la somme de deux fonctions périodiques!

[Valvino]

Il existe une fonction $ c $ telle que :

Pour tout $ x $ de $ ]a,b[ $ : $ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c(x)) $ ...

Je suis peut-être à la ramasse mais je ne vois toujours pas le rapport avec l'axiome du choix.

[Necklor]

Ben un cas simple : $ f' $ est constante sur $ ]a,b[ $.

Construire la fonction $ c $ c'est prendre un élément du produit cartésien : $ \prod_{x \in ]a,b[} ]a,x] $. On utilise donc l'axiome du choix.

On pourrait bien sur s'en passer (en prenant le sup). Mais je pense pas que dans la majorité des sup le prof fasse ça, juste pour dire "Je ne veux pas utiliser l'axiome du choix !".

[Valvino]

Je vois pas en quoi tu as besoin de l'axiome du choix pour prendre un élément dans un produit cartésien ! C'est juste une bête application du théorème des valeurs intermédiaires.

[Necklor]

Le but de l'axiome du choix c'est de pouvoir prendre un élément dans un produit cartésien d'une infinité d'ensembles qui contiennent une infinité d'éléments...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_ ... rmulations

[Valvino]

Non ce n'est pas ça justement. C'est bien plus fort !

Tu as toujours le droit de prendre/choisir un élément dans un ensemble non vide (et ton produit cartésien en est un). C'est la base de la théorie des ensembles, pas besoin d'axiome du choix.

Ce que te dit l'axiome du choix, c'est que étant donné une famille quelconque de sous-ensembles d'un ensemble, on sait choisir "simultanément" un élément dans chaque sous-ensemble.

[Necklor]

Tu as toujours le droit de prendre/choisir un élément dans un ensemble non vide (et ton produit cartésien en est un)

(et ton produit cartésien en est un)

Grâce à l'axiome du choix.

[Valvino]

T'as pas besoin de l'axiome du choix pour montrer que $ \prod_{x \in ]a,b[} ]a,x] $ est non vide.

Et puis j'aimerais bien voir comment tu définis $ \prod_{x \in ]a,b[} ]a,x] $ en prépa... Sérieusement c'est quoi la démo que tu as eu ? Je maintiens qu'on a pas besoin de tout ce merdier pour un résultat aussi simple: http://bcpst.hoche.free.fr/IMG/pdf/chap910.pdf (page 12) par exemple.