Si N est nilpotente...

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Répondre

Messages : 109

Enregistré le : 13 mars 2011 18:29

Si N est nilpotente...

Message par taouya » 08 oct. 2013 19:33

Bonsoir,

Je sollicite votre aide car je n'arrive pas à démontrer une assertion qui est, parait-il, très classique :
Si une matrice N est nilpotente, alors I-N est inversible d'inverse I+N+ ...+Np−1 avec p l’ordre de nilpotence de N

Je sais que $ (N-I)^n=(N-I)(I+N+ ,,, + N^(p-1)) $
Pour que la proposition soit vraie, il faut que $ (N-I)^n=I $ ce que je n'arrive pas à démontrer par le binôme de Newton
Modifié en dernier par taouya le 08 oct. 2013 19:51, modifié 2 fois.
2014 - 2018 : Centrale Marseille

Messages : 202

Enregistré le : 08 févr. 2013 18:32

Classe : MP

Re: Si N est nilpotente...

Message par BStinson » 08 oct. 2013 19:39

Ta formule est fausse...

Messages : 109

Enregistré le : 13 mars 2011 18:29

Re: Si N est nilpotente...

Message par taouya » 08 oct. 2013 19:46

Oh, sorry, typing error...Swarley
2014 - 2018 : Centrale Marseille

Messages : 6651

Enregistré le : 17 avr. 2012 21:19

Classe : Thé à la

Re: Si N est nilpotente...

Message par bullquies » 08 oct. 2013 20:01

Si tu multiplies une matrice par son inverse tu devrais obtenir quoi? Essaye alors dans ce cas!
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

Messages : 202

Enregistré le : 08 févr. 2013 18:32

Classe : MP

Re: Si N est nilpotente...

Message par BStinson » 08 oct. 2013 21:47

Toujours faux!

Messages : 1401

Enregistré le : 19 juin 2007 21:01

Localisation : Toulouse

Re: Si N est nilpotente...

Message par Madec » 08 oct. 2013 21:49

Dans ce genre de question , on peut partir de la factorisation bien connue dans un anneau unitaire :

X^p -1 =( X-1)(1+X+X^2 + ...+ X^p-1)

si on l'applique à N et à Id
N^p- Id = (N-Id) ( Id + N+ .....+ N^p-1)
et comme N^p = 0 le résultat sur l'inversibilité de N-Id vient

Répondre