bonjour!
j'ai dans un exo sur des suites eu une idée qui me conduit à utiliser l'inégalité:
1/2^(n-1) supérieur ou égal à 1/n² pour tout entier naturel non nul
encore faut-il le démontrer...ce que je n'arrive pas à faire (probablement par récurrence, mais je n'arrive pas à bien utiliser mon hypothèse et tombe toujours sur des inégalités inutiles) même si ça peut vous sembler très simple
quelqu'un pourrait-il m'aider? merci
démonstration d'une inégalité
Re: démonstration d'une inégalité
Je verrais plutôt l'inégalité dans l'autre sens à partir d'un certain rang.salmacis a écrit :bonjour!
j'ai dans un exo sur des suites eu une idée qui me conduit à utiliser l'inégalité:
1/2^(n-1) supérieur ou égal à 1/n² pour tout entier naturel non nul
encore faut-il le démontrer...ce que je n'arrive pas à faire (probablement par récurrence, mais je n'arrive pas à bien utiliser mon hypothèse et tombe toujours sur des inégalités inutiles) même si ça peut vous sembler très simple
quelqu'un pourrait-il m'aider? merci
Une idée: étudier la fonction $ x \mapsto x^{2} 2^{(1-x)} $.
Autre idée: on pose $ u_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n-1}} $ et on veut montrer $ u_{n} \leq 1 $ à partir d'un certain rang. On peut le faire en évaluant $ \frac{u_{n+1}}{u_{n}} $.
si tu parles de mon message dans le sien, tu cliques sur "citer" dans le post à faire apparaître, il apparait en en-tête dans ton message à taper (ou alors tu fais copier sur la partie du message qui t'intéresse, et tu la colles dans ton propre message entre 2 clics "quote")
si tu parles des notation mathématiques, c'est une syntaxe baptisée Latex qui est expliquée dans la rubrique "liens utiles", ou sur l'adresse:
http://www.les-mathematiques.net/p/p/l/
merci Mû en tout cas pour votre (vos) réponses !
si tu parles des notation mathématiques, c'est une syntaxe baptisée Latex qui est expliquée dans la rubrique "liens utiles", ou sur l'adresse:
http://www.les-mathematiques.net/p/p/l/
merci Mû en tout cas pour votre (vos) réponses !
Je verrais les choses autrement.
Montrons que $ 2^{n}>2n^2 $. Pour cela, j'interprète $ 2^n $ comme un binôme, je le développe (Newton). On peut donc minorer par certains des termes. Le terme $ {n\choose 2} $ n'est pas suffisant car il est de l'ordre de grandeur de $ n^2\over 2 $. On examine donc $ {n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}=\frac{6n+3n(n-1)+n(n-1)(n-2)}6=\frac{n^3+5n}6 $ et il ne reste plus qu'à montrer que $ \frac{n^3+5n}6>2n^2 $ soit encore
$ n^2-12n+5>0 $, ce qui est vrai pour $ n\geq 12 $. Pour n=1,2...,11 on vérifie directement et c'est fini sans récurrence.
Montrons que $ 2^{n}>2n^2 $. Pour cela, j'interprète $ 2^n $ comme un binôme, je le développe (Newton). On peut donc minorer par certains des termes. Le terme $ {n\choose 2} $ n'est pas suffisant car il est de l'ordre de grandeur de $ n^2\over 2 $. On examine donc $ {n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}=\frac{6n+3n(n-1)+n(n-1)(n-2)}6=\frac{n^3+5n}6 $ et il ne reste plus qu'à montrer que $ \frac{n^3+5n}6>2n^2 $ soit encore
$ n^2-12n+5>0 $, ce qui est vrai pour $ n\geq 12 $. Pour n=1,2...,11 on vérifie directement et c'est fini sans récurrence.