Exercices X-ENS

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Exercices X-ENS

Message par The TJFK » 25 févr. 2014 16:49

Bonjour à tous

Ayant remarqué que certains semblent se plaindre d'une dégénérescence du topic Exos Sympas MP/MP* en topic "Exos impossibles" j'ai pris l'initiative de créer un nouveau topic pour les exercices d'X et d'ENS.
Pour que les conversations soient très claires on pourrait référencer nos exercices (Exemple: (67) ) et indiquer la difficulté (indiquer autre chose que (?) implique de connaître la solution, sinon on est naturellement incompétent pour juger de la difficulté de l'exercice)

?: Difficulté inconnue
*: Donné à l'X ou Ulm mais assez simple
**: Difficile (faisable en moins de 45 minutes par un admis "moyen" à Ulm)
***: Très difficile (infaisable en moins d'une heure par un admis "moyen" à Ulm mais éventuellement en 2-3-4 heures..., faisable par les tous meilleurs en moins de 45 minutes)
****: Extrêmement difficile (dSP doit être à court de pistes)

ainsi que la source de l'exo

Exemple



(1) (**) (Ulm 2012) Soit f une fonction continue, 2 pi périodique de IR dans IR. Montrer que la norme infinie de sa série de Fourier est en O(ln(n)), puis montrer qu'elle est même en o(ln(n))
Modifié en dernier par The TJFK le 25 févr. 2014 18:12, modifié 1 fois.
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Re: Exercices X-ENS

Message par JeanN » 25 févr. 2014 17:37

Je trouve vraiment dommage de ne pas enrichir le fil mp*. Il n'attend que des contributions comme celle ci...
Par ailleurs il y a un ou plusieurs mondes d'écart entre mon niveau et celui de dsp...
Je modère donc le précédent message :-)
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Re: Exercices X-ENS

Message par The TJFK » 25 févr. 2014 18:12

(2) (?) (Ulm 2008) Montrer qu'il existe une infinité de puissances de 2 dont le développement décimal commence par 7

(3) (*) (Ulm 2008) Montrer que l'ensemble des polynômes de degré au plus n, scindés simples sur IR, est ouvert dans IRn crochet X
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Re: Exercices X-ENS

Message par The TJFK » 25 févr. 2014 18:23

"Pourquoi ne pas prendre en compte ce que JeanN souligne ?" Justification que je ne l'ai pas pris en compte SVP (ce qu'il dit est très raisonné)
Et justement, ce fil permettra l'utilisation massive du hors-programme, ainsi qu'une présentation claire
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Re: Exercices X-ENS

Message par Silvere Gangloff » 25 févr. 2014 19:25

The TJFK a écrit :(2) (?) (Ulm 2008) Montrer qu'il existe une infinité de puissances de 2 dont le développement décimal commence par 7
Il suffit de montrer qu'il existe une infinité de $ (n,k) $ tels que $ 7 \le \frac{2^n}{10^k} < 8 $, c'est à dire $ \ln(7) \le n \ln (2) - k \ln (10) < \ln (8) $. Comme $ \ln (2) $ et $ \ln (10) $ sont de même signe, il suffit que de montrer que $ \mathbb{Z} \ln (2) + \mathbb{Z} \ln (10) $ est dense et pour cela il suffit de montrer que $ \frac{\ln (2)}{\ln(10)} $ est irrationel. Si ce nombre est rationnel il existe $ p $,$ q \neq 0 $ entiers tels que $ p\ln(2)=q\ln(10) $, et en passant à l'exponentielle on a $ 2^p = 10^q $ , absurde pour des raisons arithmétiques.
The TJFK a écrit :(3) (*) (Ulm 2008) Montrer que l'ensemble des polynômes de degré au plus n, scindés simples sur IR, est ouvert dans IRn crochet X
Trivial.

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Re: Exercices X-ENS

Message par The TJFK » 25 févr. 2014 19:29

Silvere Gangloff, TB (pour le 2). (Pour le 3 c'est trivial en effet mais c'était vraiment un exo donné aux ENS ...)
Modifié en dernier par The TJFK le 25 févr. 2014 19:50, modifié 1 fois.
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Re: Exercices X-ENS

Message par MATHADOR » 25 févr. 2014 20:15

Je ne sais pas si le fil s'y prête mais je me demande si nos profs de maths torcheurs réfléchissent encore lorsqu'ils font des maths de prépa (modulo tout le HP posable en prépa). J'imagine qu'on peut trouver des exos très très durs (même pour eux) ponctuellement, mais avec l'expérience, cela doit se produire 2 fois par an au maximum ? Ou alors s'ils doivent faire des trucs de leur côté pour ne pas avoir l'impression de raconter des trivialités.
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Re: Exercices X-ENS

Message par Hoetre » 25 févr. 2014 20:20

Hum, en tout cas je serais pour la reformulation de ce topic en "exo Hors-Programme", ce serait une bonne idée pour occuper les torches qui trainent dans le coin ^^
Alors que faire un topic pour les exos XENS séparé des MP*, c'est pas forcément nécessaire ^^
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Re: Exercices X-ENS

Message par Keru » 25 févr. 2014 22:23

Comme ce qui a été dit précédemment, je vois pas trop l'intérêt de faire un Topic X/ENS spécifique. Pourquoi ne pas les poser tout simplement dans le topic déjà fait pour ça Exos Sympas MP(*)?
Même s'il y a des trucs qui ne sont pas au programme de MP, il faut arrêter de se voiler la face : si on veut bien réussir en maths, il est très difficile de le faire en se limitant strictement au programme. Il faut aller un peu plus loin pour avoir déjà vu les classiques le jour J et pour comprendre en profondeur, à moins d'être vraiment doué et à ce moment là on invente tout tout seul (genre Dunford, diagonalisation simultanée, Th. de Dini ...).

En plus, si on donne un exo avec des notions hors-programmes mais qu'on les définit avant, je ne vois pas où est le problème.

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Re: Exercices X-ENS

Message par Hoetre » 26 févr. 2014 09:55

Keru a écrit :Comme ce qui a été dit précédemment, je vois pas trop l'intérêt de faire un Topic X/ENS spécifique. Pourquoi ne pas les poser tout simplement dans le topic déjà fait pour ça Exos Sympas MP(*)?
Même s'il y a des trucs qui ne sont pas au programme de MP, il faut arrêter de se voiler la face : si on veut bien réussir en maths, il est très difficile de le faire en se limitant strictement au programme. Il faut aller un peu plus loin pour avoir déjà vu les classiques le jour J et pour comprendre en profondeur, à moins d'être vraiment doué et à ce moment là on invente tout tout seul (genre Dunford, diagonalisation simultanée, Th. de Dini ...).

En plus, si on donne un exo avec des notions hors-programmes mais qu'on les définit avant, je ne vois pas où est le problème.
Hum, même si j'avais pas mal bossé le hors programme pendant ma 5/2, force m'est de reconnaître que je n'ai eu aucun exo d'oral nécessitant une once de hors-programme.
Des fois je me demande si - à cause de quelques rares exos qui n'auraient pas dû être posés - on ne fait pas tout une histoire de des exos "hors-programmes" qui tombent à X-ens alors que dans le fond il n'y en a presque pas... ^^
Bon après, je dis ça, et si y'en a un qui a du utiliser Dunford sans l'avoir admis/redémontré au cours de son oral, il me lynchera, mais voilà ^^

Disons que moi ce qui m'agace, ce sont les exos qui commencent par "avec Dunford on peut écrire..." ou qui se terminent par "et le théorème de Dini permet de conclure"... Bref, ce genre de chose. Après, évidemment, un exo qui présente une nouvelle notion, c'est intéressant, tant que celle-ci est définie et que la question posée est abordable en recourant uniquement aux outils au programme.

EDIT : Bref, pour résumer ma pensée, je serais favorable à la création d'un topic "exo hors-programme", pour ceux que ça intéresse de faire des maths de bonhomme post-spé (ceux qui te branchent sur les théorèmes de Sylow, etc), puisqu'il faut dire que cette section reste fréquentée par un paquet d'X/ENS/prof qui aiment bien ça. Et ça permettrait de ne pas les retrouver dans le fil MP(*) qui s'adresse (selon moi) plutôt aux taupins qui veulent préparer leurs oraux.
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