Exercices X-ENS

[JeanN]

Heureusement pour lui, il n'a pas eu que des exos HP complètement déco***ts... Sa place finale correspond à son niveau général.

[Silvere Gangloff]

En voici un qui ne vient pas des ENS, qui contient du hors programme, à savoir que tout espace vectoriel admet une base, et que si f et g sont deux familles d'un espace vectoriel, f libre et g génératrice, alors le cardinal de f est plus petit que celui de g

(9) (**) On note $ E $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des applications $ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uniformément continues et intégrables sur $ \mathbb{R} $, et $ F $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.

Soient $ \varphi = \left (
\begin{array}{ccc}
E \longrightarrow \mathbb{R} \\
f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\
\end{array}
\right ) $ et $ \psi = \left (
\begin{array}{ccc}
F \longrightarrow \mathbb{R} \\
a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\
\end{array}
\right ) $

On dit qu'un morphisme (linéaire) $ \mu: E \rightarrow F $ est conservatif s'il vérifie $ \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f) $.

1) Proposer un morphisme $ E \rightarrow F $ surjectif et conservatif.
2) Proposer un morphisme $ E \rightarrow F $ injectif et non conservatif. (dans la mesure du possible éviter une réponse du genre "parmi ces deux au moins un n'est pas conservatif" )
3) Montrer qu'il existe un isomorphisme $ E \rightarrow F $ conservatif.

Sauf erreur, pour le 1) on prend pour $ \mu (f) $ la suite des $ \int_{[n,n+1[} f $ avec $ n \in \mathbb{Z} $ (que l'on réordonne correctement pour faire une suite indexée par $ \mathbb{N} $) : conservatif pour des raisons évidentes, et surjectif car pour tout réel $ \lambda $, on a $ \lambda = \int_{n}^{n+1} g (x) dx $ avec $ g(x) = \frac{\lambda}{\int_{0}^{1} e^{-1/t^2} e^{-1/(1-t)^2} dt} e^{-1/(x-n)^2} e^{-1/(x-n-1)^2} $

Pour le 2) on prend la suite (que l'on réordonne etc..) des $ 1/k^2 \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx $, qui est non conservatif et injectif
Pour le 3) on prend $ \frac{6}{\pi ^2 k^2} \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx $
Donc si je me suis pas trompé, pas besoin de HP pour celui-ci. Au fait, d'où vient-il ?

[Mocassins]

Exo 10 (en partie)

SPOILER:

Soit $ (G,\star,e) $ un groupe de cardinal $ p^2 $.

Alors l'ensemble $ G_1 $ des éléments d'ordre $ 1 $ ou $ p $ dans $ G $ est un sous-groupe.
$ |G_1| \ | \ |G| = p^2 $ donc $ |G_1| = 1 $ ou $ |G_2| = p $ ou $ |G_1| = p^2 $.

Si $ |G_1| \leq p $ alors il existe un élément $ x $ d'ordre $ p^2 $ dans $ G $ et $ G = <x> $ est isomorphe à $ (\mathbb{U}_{p^2},\times) $.


Sinon, $ |G_1| = p^2 $: $ G_1 = G $.

Soit $ x \in G - \{e\} $ et soit $ y \in G - <x> $ (qui n'est pas vide car $ <x> = p <p^2 $).
$ <x> \cap <y> = \{e\} $, sinon comme ces sous-groupes sont de même cardinal ils seraient égaux ce qui contredit la définition de $ y $.

Donc $ |<x> \cup <y>| > p $, donc $ < <x> \cup <y> > = G $ (petit abus de notation).

C'est sûrement là que la commutativité sert.
Bon je l'admets pour l'instant.

Soit $ z \in G $, $ \exists n,q \in [|0;p-1|], z = x^n \star y^q $.
Ces entiers sont uniques, en effet si $ x^n \star y^q = x^{n'} \star y^{q'} $ alors $ x^{n-n'} \in <x> = y^{q'-q} \in <y> $ donc $ x^{n-n'} = y^{q'-q} = e $ et comme $ x,y $ sont d'ordre $ p $ on a $ n = n' $ et $ p = p' $.

On pose donc, pour $ z = x^n \star y^q $, $ \varphi (z) = (e^{\frac{2in\pi}{p}},e^{\frac{2iq\pi}{p}}) $.

C'est assez clairement un morphisme et il est assez clairement injectif, donc surjectif (argument du cardinal), donc bijectif, de $ G $ dans $ {\mathbb{U}_p}^2 $.



Pour ce qui est de la commutativité, j'avoue que je vois pas trop.
Peut-être en regardant un sous-groupe bien choisi.

@Silvere Gangloff:
Pour le 1) oui c'est l'idée. Pour ne pas avoir à réordonner les suites, on peut prendre $ \mu(f) =(\int_{[-(n+1).-n]} |f| + \int_{[n.n+1]} |f|)_{n \in \mathbb{N}} $.
Pour la surjectivité, la fonction que tu proposes dépend de $ n $. J'ai essayé avec plusieurs méthodes et je pense que chercher des foncions lisses, même polynomiales, est plus lourd niveau calcul.

2) Je ne comprends pas, qui est $ k $, et qui est $ n $?

3) Là pareil. Je suis à peu près sûr que rien qu'un isomorphisme entre $ E $ et $ F $ est impossible à trouver sans HP.

edit: C'est un exo que j'ai "créé", mais je t'assure qu'il n'y a pas d'entourloupe.

[muhu]

Voici une question que j'espère qu'elle est conforme à ce fil:
Soit $ \Delta=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) $ où $ n\in{\mathbb N}, n \geq 2 $ et $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n $ des nombres cmplexes deux à deux distincts.
Démontrer que $ \Delta $ est semblable à une matrice carrée $ A=(a_{ij}) \in {\mathcal M}_n({\mathbb C}) $ tel que $ a_{ij} \neq 0 $, pour tout $ (i,j)\in {[\![1,n]\!]^2 $.

[Silvere Gangloff]

@Silvere Gangloff:
Pour le 1) oui c'est l'idée. Pour ne pas avoir à réordonner les suites, on peut prendre $ \mu(f) =(\int_{[-(n+1).-n]} |f| + \int_{[n.n+1]} |f|)_{n \in \mathbb{N}} $.
Pour la surjectivité, la fonction que tu proposes dépend de $ n $. J'ai essayé avec plusieurs méthodes et je pense que chercher des foncions lisses, même polynomiales, est plus lourd niveau calcul.

2) Je ne comprends pas, qui est $ k $, et qui est $ n $?

3) Là pareil. Je suis à peu près sûr que rien qu'un isomorphisme entre $ E $ et $ F $ est impossible à trouver sans HP.

Pour le 1, la fonction ne dépend pas de $ n $ : en fait si on prend $ \lambda = a_n $ et que l'on somme ces fonctions selon $ n \in \mathbb{Z} $, on obtient une fonction antécédent de $ (a_n) $. Pour ta proposition, le problème est que ce n'est pas un opérateur linéaire.
Pour le 2), $ k $ se déplace sur $ {\mathbb{N}}^{*} $ et $ n \in \mathbb{Z} $, ici l'idée est de découper la droite réelle en intervalles réguliers de plus en plus fins : de cette manière, si $ \mu $ coincide en deux fonctions, alors la fonction "intégrale" coincide, et par le théorème fondamentale de l'analyse, les fonctions coincident.
Pour le 3), j'admet que je suis allé un peu vite : il y a un problème de surjectivité.
Avec l'en-tête de HP que tu as donné c'est faisable rapidement, par contre je pense que c'est faisable d'expliciter un isomorphisme gentil.

[Mocassins]

Oui je me suis trompé il faut enlever les valeurs absolues pour mon $ \mu $.
Et effectivement, si $ g $ est l'application dont les restrictions aux $ [n;n+1] $ sont de cette forme cela fonctionne, c'est même plus simple que ce que j'avais trouvé.

Je ne comprends toujours pas ton 2 et 3, peux-tu écrire un truc du genre pour tout n dans N, morphisme(f)(n) = ... stp?

[Mocassins]

Oui je me suis trompé il faut enlever les valeurs absolues pour mon $ \mu $.
Et effectivement, si $ g $ est l'application dont les restrictions aux $ [n;n+1] $ sont de cette forme cela fonctionne, c'est même plus simple que ce que j'avais trouvé.

Je ne comprends toujours pas ton 2 et 3, peux-tu écrire un truc du genre pour tout n dans N, morphisme(f)(n) = ... stp?

edit: Ah tu voulais dire qu'on prend une bijection $ b: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z} $ et on pose morphisme(f)(n) = expression(b(n))[/tex] c'est ça?

[Silvere Gangloff]

Oui je me suis trompé il faut enlever les valeurs absolues pour mon $ \mu $.
Et effectivement, si $ g $ est l'application dont les restrictions aux $ [n;n+1] $ sont de cette forme cela fonctionne, c'est même plus simple que ce que j'avais trouvé.

Je ne comprends toujours pas ton 2 et 3, peux-tu écrire un truc du genre pour tout n dans N, morphisme(f)(n) = ... stp?

edit: Ah tu voulais dire qu'on prend une bijection $ b: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z} $ et on pose morphisme(f)(n) = expression(b(n))[/tex] c'est ça?

Ouaip.

[Mocassins]

Eh bien, c'est joli tout ça; pas du tout ce que j'avais fait en plus.
Tiens-moi au courant si tu trouves un isomorphisme conservatif ou même un isomorphisme tout court

[V@J]

On note $ E $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des applications $ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uniformément continues et intégrables sur $ \mathbb{R} $, et $ F $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.

Soient $ \varphi = \left (
\begin{array}{ccc}
E \longrightarrow \mathbb{R} \\
f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\
\end{array}
\right ) $ et $ \psi = \left (
\begin{array}{ccc}
F \longrightarrow \mathbb{R} \\
a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\
\end{array}
\right ) $

On dit qu'un morphisme (linéaire) $ \mu: E \rightarrow F $ est conservatif s'il vérifie $ \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f) $.
[...]
3) Montrer qu'il existe un isomorphisme $ E \rightarrow F $ conservatif.

[...]Pour le 3) on prend $ \frac{6}{\pi ^2 k^2} \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx $

Euh... ce n'est pas vraiment surjectif tout ça.
Alors que moi, j'aurais plutôt fait un truc comme : on prend une bijection $ \beta $ entre deux bases $ B_E $ et $ B_F $ de $ E $ et $ F $ (qui sont tous deux de dimension $ \mathrm{card}(\mathbb{R}) $ sur $ \mathbb{R} $) puis, pour $ b \in B_E $ on pose $ \mu(b) = \frac{\varphi(b)}{\psi(\beta(b))} \beta(b) $, de sorte que $ \psi(\mu(b)) = \varphi(b) $, et on étend $ \mu $ par linéarité.
Mais bon, une telle "construction" n'apprend rien du tout...