Exercices X-ENS

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Re: Exercices X-ENS

Message par Mocassins » 05 mars 2014 23:43

Eh bien, c'est joli tout ça; pas du tout ce que j'avais fait en plus.
Tiens-moi au courant si tu trouves un isomorphisme conservatif ou même un isomorphisme tout court :)

V@J

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Re: Exercices X-ENS

Message par V@J » 06 mars 2014 00:10

Silvere Gangloff a écrit :
Mocassins a écrit :On note $ E $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des applications $ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uniformément continues et intégrables sur $ \mathbb{R} $, et $ F $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.

Soient $ \varphi = \left (
\begin{array}{ccc}
E \longrightarrow \mathbb{R} \\
f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\
\end{array}
\right ) $ et $ \psi = \left (
\begin{array}{ccc}
F \longrightarrow \mathbb{R} \\
a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\
\end{array}
\right ) $

On dit qu'un morphisme (linéaire) $ \mu: E \rightarrow F $ est conservatif s'il vérifie $ \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f) $.
[...]
3) Montrer qu'il existe un isomorphisme $ E \rightarrow F $ conservatif.
[...]Pour le 3) on prend $ \frac{6}{\pi ^2 k^2} \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx $
Euh... ce n'est pas vraiment surjectif tout ça.
Alors que moi, j'aurais plutôt fait un truc comme : on prend une bijection $ \beta $ entre deux bases $ B_E $ et $ B_F $ de $ E $ et $ F $ (qui sont tous deux de dimension $ \mathrm{card}(\mathbb{R}) $ sur $ \mathbb{R} $) puis, pour $ b \in B_E $ on pose $ \mu(b) = \frac{\varphi(b)}{\psi(\beta(b))} \beta(b) $, de sorte que $ \psi(\mu(b)) = \varphi(b) $, et on étend $ \mu $ par linéarité.
Mais bon, une telle "construction" n'apprend rien du tout...
Modifié en dernier par V@J le 06 mars 2014 00:30, modifié 1 fois.

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Re: Exercices X-ENS

Message par Silvere Gangloff » 06 mars 2014 00:17

V@J a écrit :
Silvere Gangloff a écrit :
Mocassins a écrit :On note $ E $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des applications $ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ uniformément continues et intégrables sur $ \mathbb{R} $, et $ F $ le $ \mathbb{R} $-espace vectoriel des suites de réels absolument sommables.

Soient $ \varphi = \left (
\begin{array}{ccc}
E \longrightarrow \mathbb{R} \\
f \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\\
\end{array}
\right ) $ et $ \psi = \left (
\begin{array}{ccc}
F \longrightarrow \mathbb{R} \\
a \mapsto \sum \limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\\
\end{array}
\right ) $

On dit qu'un morphisme (linéaire) $ \mu: E \rightarrow F $ est conservatif s'il vérifie $ \forall f \in E, \psi(\mu(f)) = \varphi(f) $.
[...]
3) Montrer qu'il existe un isomorphisme $ E \rightarrow F $ conservatif.
[...]Pour le 3) on prend $ \frac{6}{\pi ^2 k^2} \int_{n/k}^{(n+1)/k} f(x)dx $
Euh... ce n'est pas vraiment surjectif tout ça.
Yep, j'ai vu ça, j'essaie de voir si je peux trouver qqchose de proche qui marcherait

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Re: Exercices X-ENS

Message par Mocassins » 06 mars 2014 07:30

Alors que moi, j'aurais plutôt fait un truc comme : on prend une bijection \beta entre deux bases B_E et B_F de E et F (qui sont tous deux de dimension \mathrm{card}(\mathbb{R}) sur \mathbb{R}) puis, pour b \in B_E on pose \mu(b) = \frac{\varphi(b)}{\psi(\beta(b))} \beta(b), de sorte que \psi(\mu(b)) = \varphi(b), et on étend \mu par linéarité.
Mais bon, une telle "construction" n'apprend rien du tout...
Oui, le HP sert principalement à déduire l'existence de l'isomorphisme des questions précédentes sans avoir à calculer les dimensions (le calcul de la dimension nécessite tout de même quelques lignes et d'ailleurs il fait appel au HP aussi).
Il y a un petit argument supplémentaire à utiliser, ici on pourrait très bien avoir $ \psi(\beta(b)) = 0 $ pour certains $ b $...

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Message par V@J » 06 mars 2014 07:40

Ah oui, c'est vrai, on utilisé un théorème de base incomplète pour faire en sorte que $ B_E $ soit une base de $ \mathrm{Ker}(\varphi) \oplus H $ et $ B_F $ soit une base de $ \mathrm{Ker}(\psi) \oplus I $, avec $ H $ et $ I $ supplémentaires de $ \mathrm{Ker}(\varphi) $ et $ \mathrm{Ker}(\psi) $ ; et du coup, on n'a pas besoin de "remultiplier par un scalaire bien pensé" l'image du premier vecteur de $ B_E $...

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Re: Exercices X-ENS

Message par Cryme » 06 mars 2014 13:04

On peut obtenir $ O(n) $ par CS, et théorème de Perseval :D
Mais si vous voulez mon avis, on pourrait peut-être s'en sortir en approchant $ f $ par des fonctions dérivables...
(Je lance ça au pif, peut-être que c'est tout à fait stupide.)
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Re: Exercices X-ENS

Message par Cryme » 06 mars 2014 13:11

J'ai vite fait regardé, comment dire j'ai griffonné deux lignes ^^'
Ça m'a l'air de marcher pour la question $ O(\ln(n)) $, je vais regarder la suite, mais sans doute pas cet après-midi.
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Re: Exercices X-ENS

Message par The TJFK » 06 mars 2014 13:21

Pour O(ln(n)) il suffit de majorer la norme 1 du n-ième noyau de Dirichlet (pour le voir, évaluez la somme partielle en un t quelconque puis...). Pour le o(ln(n)), il serait intéressant de voir votre constante multiplicative remplacée par un epsilon aussi petit qu'on veut à partir d'un certain rang... (en particulier, si l'on pouvait se ramener au cas du grand O pour une fonction de norme aussi petite que l'on veut (construite à partir de f (comment la construire ?) :) ), ce serait bien non ?) :)
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Re: Exercices X-ENS

Message par kldck » 06 mars 2014 13:41

Cryme a écrit :théorème de Perseval :D
Conseil pour les taupins : ne pas trop regarder Kaamelott :lol:

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Re: Exercices X-ENS

Message par The TJFK » 06 mars 2014 13:42

Et pourquoi pas PerCeval aussi tant qu'on y est ? :)
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