Exercices X-ENS

[Cryme]

Non j'ai pas regardé la tienne encore

[Silvere Gangloff]

Voici une question que j'espère qu'elle est conforme à ce fil:
Soit $ \Delta=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) $ où $ n\in{\mathbb N}, n \geq 2 $ et $ \lambda_1,\cdots,\lambda_n $ des nombres cmplexes deux à deux distincts.
Démontrer que $ \Delta $ est semblable à une matrice carrée $ A=(a_{ij}) \in {\mathcal M}_n({\mathbb C}) $ tel que $ a_{ij} \neq 0 $, pour tout $ (i,j)\in {[\![1,n]\!]^2 $.

Une proposition de solution :

SPOILER:

pour le cas où les $ \lambda_i $ sont tous non nuls :
Pour t assez petit, $ (I_n+t J_n) \Delta (I_n+tJ_n)^{-1} $ convient, avec $ J_n = (1) $ (on peut faire un développement limité à l'ordre 1).

Sinon, supposons que $ \lambda_1 = 0 $, on prend $ Q=I_n+E_{2,1} $ et $ H=QJ_n $ (sauf erreur dans le calcul..), dans ce cas $ (Q+t H) \Delta (Q+tH)^{-1} = Q\Delta Q^{-1} + t(J_n D-DJ_n) Q^{-1} +o(t) $ et pour t suffisament petit, tous les coefficients sont non nuls.
Bon, il y a probablement une manière de le présenter un peu plus jolie..

[The TJFK]

Nombres de Bernouilli, séries entières ... (C'est un exo de vraiment bonne qualité je trouve, bravo)

[Cryme]

Attends, mais c'est excellent ça !!!

[PascalB]

Pourquoi ce besoin maladif de trier, classer, ranger, quantifier. Vivement que vous sortiez de la prépa pour certains, ça vous fera du plus grand bien.

Je suis sorti de prépa il y a plus d'1 quart de siècle déjà, et pourtant j'ai encore ce besoin maladif de trier, classer, ranger, quantifier...

[The TJFK]

Je remonte ce topic qui s'était étrangement enterré dans les profondeurs du forum: A partir de maintenant, je propose de consacrer ce topic aux exercices de type X ou Oral Commun ULCR, les exercices dé l'Oral Légendaire Spécifique Ulm se déroulant dans le topic qui lui est consacré