Matrice inversible et équivalence en lignes

[Laprussienne]

Bonsoir,
Tout d'abord je n'ai pas pu retrouver une question similaire sur cette partie du forum..

Je me suis penché sur le théorème suivant :
Soit A une matrice carrée, les 3 propositions suivantes sont équivalentes
1) A est inversible
2) AX=0 => X=0
3) dét(A) est non nul

J'ai, essayé de démontrer que" 1) <=> 3)", sans succès, je lis donc la réponse dans un livre de cours..
" Si A inversible, elle est équivalente en lignes à I"
.. Cela veut-il aussi dire que A*M = Id, avec M = inverse de A ? Les opérations linéaires sur une matrices peuvent-elles se traduire en produit matriciel ?

Je lis plus loin " Si A non inversible, elle est équivalente en lignes à une matrice dont une ligne au moins est nulle".. Je ne vois pas le rapport, quelqu'un peut m'expliquer de façon simple

Merci pour l' aide

[brank]

Salut,

une façon de faire qui est acceptable selon ce que l'on admet sur les déterminants

1)=>3)

Si A est inversible, il existe B tel que AB=I d'où det(A)*det(B)=det(I)=1 donc det(A) est non nul

3)=>1)

Si det(A) non nul alors tu peux écrire $ \frac{1}{det(A)} $ et donc tu as (d'après le cours) la formule bien connue:

on a ainsi construit l' inverse de A, A est bien inversible.

l'avantage de ma preuve est qu'elle se généralise très bien aux matrices à coefficients dans des anneaux qui ne sont pas des corps.

Je vois ce que ton corrigé veut faire, ça demande moins de connaissance.En fait tu peux démontrer un truc un poil plus général avec ces histoires de matrices équivalentes ( c'est pas bien dur si tu piges ton corrigé tu sauras faire)

Toute application f de Mn(R) dans R (non constante et telle que pour toutes matrices A,B f(AB)=f(A)f(B)) envoie les matrices non inversibles sur 0 et les inversibles sur un réel non nul.

[brank]

Les opérations linéaires sur une matrices peuvent-elles se traduire en produit matriciel ?

oui, je t'invite à aller faire des recherches sur internet la dessus. Tout ce qui est permutation des lignes et des colonnes aussi.

[Laprussienne]

merci bien

[KDY]

Bonjour,

Au passage,

J'ai, essayé de démontrer que [...] sans succès, je lis donc la réponse dans un livre de cours..

si c'est un réflexe, alors il faut l'inhiber définitivement le plus vite possible.

[Necklor]

Inhiber le réflexe d'aller voir un cours quand on arrive pas à faire un exo ?!

[KDY]

Inhiber le réflexe d'aller voir un cours quand on arrive pas à faire un exo ?!

Bonjour,

Vous l'aviez compris : ce que je voulais rappeler, c'était qu'il valait mieux encourager au maximum la ténacité et ne pas se laisser démonter instantannément devant la première difficulté qui se présente dans un exo plutôt que de donner sa langue au chat, par réflexe.

Le cours reste fondamental, évidemment.