Défi pour V@J, Thaalos, JeanN, MATHADOR et tous les autres..

[The TJFK]

Oui.

[Silvere Gangloff]

Cependant, à moins que je me trompe, l'exemple que tu me donnes permet de donner un contre-exemple au résultat de l'exercice.

Edit : en fait non. Il suffit de montrer pour terminer l'exercice, qu'une fonction g positive sur $ [0,+\infty[ $ intégrable et de dérivée bornée a une limsup nulle.
Supposons que la limite supérieure est > 0. Dans ce cas considérons m>0 une valeur atteinte sur tout voisinage de l'infini et $ \epsilon << m $. Dans ce cas,
on peut construire une suite croissante de points $ (x_n) $ et d'intervalles contenant $ x_n $ et disjoints (sauf au bord éventuellement)
telles que $ g(x_n)=m $ et vaut $ \epsilon $ aux bornes de $ I_n $ (par intégrabilité). La taille des intervalles tend nécessairement
vers 0, et dans ce cas on en déduit, par le théorème des accroissements finis, que la dérivée de g n'est pas bornée.
Par l'absurde, on conclue (enfin!)

[Jay Olsen]

Oui.

Bah exprime toi clairement alors

[The TJFK]

Cependant, à moins que je me trompe, l'exemple que tu me donnes permet de donner un contre-exemple au résultat de l'exercice.

Edit : en fait non. Il suffit de montrer pour terminer l'exercice, qu'une fonction g positive sur $ [0,+\infty[ $ intégrable et de dérivée bornée a une limsup nulle.
Supposons que la limite supérieure est > 0. Dans ce cas considérons m>0 une valeur atteinte sur tout voisinage de l'infini et $ \epsilon << m $. Dans ce cas,
on peut construire une suite croissante de points $ (x_n) $ et d'intervalles contenant $ x_n $ et disjoints (sauf au bord éventuellement)
telles que $ g(x_n)=m $ et vaut $ \epsilon $ aux bornes de $ I_n $ (par intégrabilité). La taille des intervalles tend nécessairement
vers 0, et dans ce cas on en déduit, par le théorème des accroissements finis, que la dérivée de g n'est pas bornée.
Par l'absurde, on conclue (enfin!)

Félicitations !

[Silvere Gangloff]

Cependant, à moins que je me trompe, l'exemple que tu me donnes permet de donner un contre-exemple au résultat de l'exercice.

Edit : en fait non. Il suffit de montrer pour terminer l'exercice, qu'une fonction g positive sur $ [0,+\infty[ $ intégrable et de dérivée bornée a une limsup nulle.
Supposons que la limite supérieure est > 0. Dans ce cas considérons m>0 une valeur atteinte sur tout voisinage de l'infini et $ \epsilon << m $. Dans ce cas,
on peut construire une suite croissante de points $ (x_n) $ et d'intervalles contenant $ x_n $ et disjoints (sauf au bord éventuellement)
telles que $ g(x_n)=m $ et vaut $ \epsilon $ aux bornes de $ I_n $ (par intégrabilité). La taille des intervalles tend nécessairement
vers 0, et dans ce cas on en déduit, par le théorème des accroissements finis, que la dérivée de g n'est pas bornée.
Par l'absurde, on conclue (enfin!)

Félicitations !

Merci

[Necklor]

Mdr le titre.

j m abon

Pas compris

[KDY]

Cependant, à moins que je me trompe, l'exemple que tu me donnes permet de donner un contre-exemple au résultat de l'exercice.

Edit : en fait non. Il suffit de montrer pour terminer l'exercice, qu'une fonction g positive sur $ [0,+\infty[ $ intégrable et de dérivée bornée a une limsup nulle.
Supposons que la limite supérieure est > 0. Dans ce cas considérons m>0 une valeur atteinte sur tout voisinage de l'infini et $ \epsilon << m $. Dans ce cas,
on peut construire une suite croissante de points $ (x_n) $ et d'intervalles contenant $ x_n $ et disjoints (sauf au bord éventuellement)
telles que $ g(x_n)=m $ et vaut $ \epsilon $ aux bornes de $ I_n $ (par intégrabilité). La taille des intervalles tend nécessairement
vers 0, et dans ce cas on en déduit, par le théorème des accroissements finis, que la dérivée de g n'est pas bornée.
Par l'absurde, on conclue (enfin!)

Félicitations !

ça mérite au moins un Prix Nobel.

[Silvere Gangloff]

Cependant, à moins que je me trompe, l'exemple que tu me donnes permet de donner un contre-exemple au résultat de l'exercice.

Edit : en fait non. Il suffit de montrer pour terminer l'exercice, qu'une fonction g positive sur $ [0,+\infty[ $ intégrable et de dérivée bornée a une limsup nulle.
Supposons que la limite supérieure est > 0. Dans ce cas considérons m>0 une valeur atteinte sur tout voisinage de l'infini et $ \epsilon << m $. Dans ce cas,
on peut construire une suite croissante de points $ (x_n) $ et d'intervalles contenant $ x_n $ et disjoints (sauf au bord éventuellement)
telles que $ g(x_n)=m $ et vaut $ \epsilon $ aux bornes de $ I_n $ (par intégrabilité). La taille des intervalles tend nécessairement
vers 0, et dans ce cas on en déduit, par le théorème des accroissements finis, que la dérivée de g n'est pas bornée.
Par l'absurde, on conclue (enfin!)

Félicitations !

ça mérite au moins un Prix Nobel.

Je te le cède, j'en ai déjà trois, je ne sais pas quoi en faire..