définition des entiers

[abouMPSI]

Il est égal à sa partie entière ?

[JeanN]

Bonjour à tous,

savez-vous s'il existe une définition des nombres entiers dans les réels, c'est-à-dire une définition du type "Soit x un réel. x est un entier si et seulement si ..." ?

Je me disais que cela pouvait peut-être servir dans la résolution de certaines équations en nombres entiers.

Bonne journée

Pas vraiment de définition mais plutôt des propriétés caractéristiques...

[Arky]

Tu as les axiomes de Peano.
Je ne sais pas ce que tu veux dire par définition algébrique, mais $ \mathbb{Z} $ n'est pas très algébrique si tu travailles dans $ \mathbb{R} $. La meilleure structure/définition à lui apposer est celle de groupe, ce qui ne risque pas de t'aider pour des calculs dans $ \mathbb{R} $, mais a le mérite d'être algébrique. En gros un nombre est un entier si tu peux l'obtenir en ajoutant assez de fois $ 1 $ à $ 0 $, ou en l'ajoutant à un autre entier pour obtenir $ 0 $.
Les définitions via la partie entière ou le sinus sont quant à elles plutôt analytiques, et reflète comme tu l'as remarqué la présence d'une période dans la fonction (ou une fonction associée, comme $ E(\cdot) - \cdot $ pour la partie entière).
Je ne pense pas que ma réponse va résoudre ton problème, mais j'espère qu'elle va t'aider à comprendre pourquoi il va t'être difficile d'y trouver une solution.

[Mocassins]

Salut,

On peut aussi définir l'ensemble des entiers relatifs comme le plus petit sous-anneau de $ \mathbb{R} $, et caractériser les entiers naturels comme les entiers relatifs positifs.

Il n'existe pas de propriété pour un réel "d'être un entier naturel" écrite dans le langage de l'arithmétique (avec des $ +, \times, 0, 1, \exists, \Longrightarrow, etc... $). Il n'y en a pas non plus pour les rationnels, ni pour les réels algébriques. Ajouter des fonctions polynomiales ou les fonctions $ \exp $ et $ \ln $ n'aide pas.

En fait si on pouvait tester avec une propriété simple si un réel est un entier, on pourrait savoir si certaines équations (équations diophantiennes) admettent des solutions entières, et il s'avère qu'il n'existe pas de méthode générale pour ce faire.

En espérant que tout cela n'est pas trop obscur.

[fakbill]

On peut aussi définir l'ensemble des entiers relatifs comme le plus petit sous-anneau de \mathbb{R},

mouais...Si tu arrives à définir R sans jamais avoir à parler d'entiers relatifs.

Il n'existe pas de propriété pour un réel "d'être un entier naturel" écrite dans le langage de l'arithmétique (avec des +, \times, 0, 1, \exists, \Longrightarrow, etc...). Il n'y en a pas non plus pour les rationnels, ni pour les réels algébriques. Ajouter des fonctions polynomiales ou les fonctions \exp et \ln n'aide pas.

Avant de partir là dedans, il faut dire sous quelle forme le réel en question est donné. Ca ne changera pas le résultat (je pense) mais ça évitera de trop pipoter

[Mocassins]

Il s'agit ici de savoir si on peut caractériser d'une certaine manière une propriété déjà définie: celle pour un réel d'être un entier naturel.


Ce que je voulais dire dans mon précédent message est qu'il n'existe pas de formule $ F[x] $ du genre $ \forall y(\exists z (x.(y + 1) = z.(z-y) \Longrightarrow z.y + \exp(x) = 0)) $ qui soit telle que $ \mathbb{N} = \{x \in \mathbb{R} \ | \ F[x]\} $.

[fakbill]

Oui j'ai bien compris
Je dis juste que c'est au moins maladroit que de dire qu'on peut **définir** l'ensemble des entiers relatifs comme le plus petit sous-anneau de \mathbb{R}. On peut le caractériser comme étant gnagnagna mais pas le*défnir* car il est déjà défini depuis longtemps quand tu en es à ce niveau de théorie. C'est juste une question de voca. Tu peux prouver que cette facon de le caractériser est la bonne...mais il est déjà définit.

je viens de voir une mouche qui passe là...mais promis je ne lui ferai rien