Exercice Algèbre

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Exercice Algèbre

Message par Fregiso » 12 avr. 2015 15:34

Exercice tiré des oraux de Christophe Rose aux ENS : (on peut facilement trouver le lien sur internet)
Soit A une R algèbre de dimension finie, unitaire, intègre, telle que tout élément non nul est inversible.
Montrer que pour tout x appartenant à A, il existe (b,c) appartenant à R^2 tels que:
x^2-bx-c=0 (en identifiant R et R1A)

Eh beh je bloque et pourtant j'ai cherché. C'est la première question de l'exo en plus, du coup je me dis que c'est peut-être tout simple mais je vois pas.
Une gentille âme pour un indice s'il vous plaît?
Et pour moi le fait que tout élément différent de 0 est inversible entraîne l'intégrité donc j'ai peut-être aussi raté un truc sur la définition.
Merci d'avance

(bon il faut évidemment se servir de l'inversibilité de tous les éléments vu que dans Mn(R) par exemple le degré du polynôme minimal est pas toujours inférieur ou égal à 2, mais à part ça...)

Edit: oui c'est tout con ("il existe un plan ou une droite stable...") shame on me
Désolé...

Bon du coup pour que ce topic ait peut-être un peu d'intérêt je poste la fin de l'exo: (oui idéalement il aurait dû être dans "Exos sympas MP* mais bon...)
Donc:
Soit A une R algèbre de dimension finie, unitaire, intègre, telle que tout élément non nul est inversible.
1.Montrer que pour tout x appartenant à A, il existe (b,c) appartenant à R^2 tel que:
x^2-bx-c=0 (en identifiant R et R1A)
2. Montrer que ∀x ∈ A,x^2 ∈ R+ ⇒ x ∈ R.
3. Soit V = {x ∈ A | x^2 ∈ R−}. Montrer que ∀x ∈ A,∃!d ∈ R | (x − d) ∈ V .
4. Soient x,y ∈ V,e,f ∈ R. Montrer que ex + fy ∈ R ⇒ ex + fy = 0.
5. Montrer que V est un espace vectoriel

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » 12 avr. 2015 21:55

1,2,3 et 4 OK. Si jamais quelqu'un a cherché et a fait aussi la 5 je suis preneur, je trouve pas et j'ai la flemme de chercher plus.
Encore désolé d'avoir ouvert un sujet "inutile".
Modifié en dernier par Fregiso le 12 avr. 2015 22:38, modifié 1 fois.

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Re: Exercice Algèbre

Message par Ali_J » 12 avr. 2015 22:03

Quel plan/droite stable ? Quel endomorphisme considérez vous ?
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2014-2015 : MP* Lycée Henri Wallon.
2015- : ENSAE Paristech

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » 12 avr. 2015 22:06

C'était une analogie, c'est tout.
dimension finie => polynôme annulateur non nul => si appartient pas déjà à R (dans de cas-là trivial) alors par intégrité yaura un polynôme de degré 2 qui l'annule

Pour les endomorphismes c'est par non injectivité

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » 12 avr. 2015 22:13

Soit dit en passant c'est amusant quand même comme l'algèbre n'est souvent que de la "réorganisation" d'égalité. Fondamentalement pas très intuitive, comparée à l'analyse qu'on peut plus rapprocher de notre expérience propre (vitesse, aller vers, plus grand...etc).
Très déroulement robotique (j'ai pas dit stupide!) d'axiomes l'algèbre.

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Re: Exercice Algèbre

Message par bullquies » 13 avr. 2015 04:24

Fregiso a écrit :Soit dit en passant c'est amusant quand même comme l'algèbre n'est souvent que de la "réorganisation" d'égalité. Fondamentalement pas très intuitive, comparée à l'analyse qu'on peut plus rapprocher de notre expérience propre (vitesse, aller vers, plus grand...etc).
Très déroulement robotique (j'ai pas dit stupide!) d'axiomes l'algèbre.
C'est marrant je trouve que l'algèbre est beaucoup plus intuitive que l'analyse pour le coup ! Comme quoi on est pas tous pareil :D
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » 13 avr. 2015 09:40

Qu'est-ce que t'entends par intuitive? Je sais que c'est pas évident à définir mais c'est parce que je suis pas sûr qu'on parle de la même chose.

Je ne confonds par exemple pas du tout facilité que j'ai dans ce domaine et intuition que j'ai dans ce domaine (je pense être meilleur en algèbre qu'en analyse).

Quand je parle d'intuition c'est un truc vraiment fondamental, à rapprocher de la base même des maths, c'est-à-dire comment on a posé des axiomes, des définitions, des principes de démonstration...etc pour se rapprocher de ce qu'on voulait dire et de ce à quoi on VOULAIT arriver. Par exemple l'introduction du calcul infinitésimal par Newton a été fortement motivée par ses travaux de physiciens. Mais maintenant le calcul infinitésimal est parfaitement "théorique", bien défini...etc
Pour l'algèbre je crois que l'introduction de la notion de groupe par exemple est plus de l'ordre de la découverte (je cherche pas à définir tout ça bien hein, découverte/non découverte, j'essaye juste d'expliquer bien comment je sens les choses et donc forcément je suis pas rigoureux). Ce qui fait que même si des notions d'algèbre peuvent être faciles pour quelqu'un, je ne sais pas à quel point on peut avoir une vraie heuristique dessus. Typiquement se représenter d'une façon intuitive un anneau ou un groupe.
Et donc on peut avoir de l' "intuition" pour résoudre un exercice d'algèbre sans que ce soit intuitif dans ma définition. Ce serait faire une confusion entre savoir utiliser un concept et le comprendre. D'ailleurs la définition même de compréhension de quelque chose est difficile je trouve. Bref. Citation de John von Neumann qui pourrait coller à ce que je dis, je sais pas si c'est ce qu'il voulait dire mais ça m'étonnerait pas « En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue »

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Re: Exercice Algèbre

Message par Madec » 13 avr. 2015 22:37

"Et pour moi le fait que tout élément différent de 0 est inversible entraîne l'intégrité donc j'ai peut-être aussi raté un truc sur la définition.
Merci d'avance "

je pense en effet qu'il n'y a pas besoin de préciser à la fois l'intégrité , et l'inversibilité de tout élément non nul , car :
l'inversibilité rend l'algèbre intègre .
Et une algèbre intègre de dimension finie a tous ses éléments non nuls inversibles .


" 1,2,3 et 4 OK. Si jamais quelqu'un a cherché et a fait aussi la 5 je suis preneur, je trouve pas et j'ai la flemme de chercher plus.
Encore désolé d'avoir ouvert un sujet "inutile". "

j'ai aussi cherché un peu cette question 5 sans succès , mais on peut peut être faire un détour vers la caractérisations des R algèbres de dimension finie et intègres car je crois me souvenir qu'il n'y a que le corps des complexes(commutatif) et les quaternions (non commutatif).

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Re: Exercice Algèbre

Message par Fregiso » 14 avr. 2015 10:43

Moi je partirais pas comme ça. Je sais pas si c'est vrai mais c'est pas l'esprit prépa et si c'était vrai on te demanderait pas de le savoir.
Bon déjà si x appartient à V alors a.x aussi pour tout a de R.
Maintenant en utilisant 2 et 4 on remarque qu'il suffit de montrer pour x et y appartenant à V, que (x+y)^2 appartient à R pour montrer que (x+y) appartient à V. Comme ça que je suis parti moi.

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Re: Exercice Algèbre

Message par Madec » 14 avr. 2015 13:22

J'en étais au même point :

(x+ y)^2= x^2 + y^2 + xy + yx

si x et y commutent alors c'est gagné car (xy) ^2 = x^2 y^2 est élément de R+ , donc xy est élément de R (d'après 2)
et finalement (x+ y)^2 élément de R permet de conclure .

Reste le cas plus "gênant" ou x et y ne commutent pas ...

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