existence (ou non) d'une fonction

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Madec

existence (ou non) d'une fonction

Message par Madec » 30 mai 2015 16:06

Bonjour ,

Une question à laquelle je ne sais répondre :
Existe t- il une fonction f définie sur R telle que pour tout x de R :
f(f(x)) = x^2

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Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par bubulle » 30 mai 2015 16:10

$ f(x)=x^{\sqrt2} $

MSman

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par MSman » 30 mai 2015 16:11

En utilisant le fait que $ x^2 = \vert x \vert^2 $, f définie par$ f(x) =\vert x \vert ^{\sqrt 2 } $ convient.

Madec

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par Madec » 30 mai 2015 17:06

Ok merci
(prolonger en 0 avec f(0)= 0 )

Madec

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par Madec » 30 mai 2015 17:56

Plus difficile sans doute :

trouver f définie sur R telle que : f(f(x)) = - x

Asymetric

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par Asymetric » 30 mai 2015 17:59

Madec a écrit :Plus difficile sans doute :

trouver f définie sur R telle que : f(f(x)) = - x
$ x \longmapsto ix $ ?

Madec

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par Madec » 30 mai 2015 18:05

Asymetric , f doit être définie sur R
à priori f(ix) n'est pas défini

Asymetric

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par Asymetric » 30 mai 2015 18:09

Madec a écrit :Asymetric , f doit être définie sur R
à priori f(ix) n'est pas défini
Ah dans ma tête c'était fonction quelconque, en effet !

Madec

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par Madec » 30 mai 2015 18:38

je ne sais si une f existe dans ce cas ( f° f = - Id ) , mais si oui elle n'est pas continue.

En effet de :
f(f(x)) = -x on déduit f(f(f(x)))= f(-x)
soit - f(x)= f(-x) et f est impaire
donc f(0) = 0 (et c'est la seule valeur qui annule f )

supposons qu'il existe x0 > 0 tel que f(x0) > 0 alors f(f(x0)) = - x0 < 0
si f est continue il existe alors un x 1 > 0 entre x0 et f(x0) tel que f(x1)= 0 soit - x1= f(0)= 0 ce qui est impossible .

soit alors x0 > 0 quelconque ; f(x0) et f(f(x0))= - x0 sont tous les deux négatifs et distincts (car sinon x0=0)
on a f(f(x0))= - x0 < 0
et f(- x0)= - f(x0) > 0
le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'un x1 <0 ( entre f(x0) et - x0) tel que f(x1) = 0 ce qui est impossible .

Mabrouk

Re: existence (ou non) d'une fonction

Message par Mabrouk » 30 mai 2015 20:09

Bonjour ,
je crois que f existe car :
on définie d'abord sur un segment [-a,a] de la manière suivante:
soit h une bijection entre R et R^2 : si a>=x>=-a alors h(x)=(x,0) pour le reste on prend n'importe quelle bijection,
soit s la réciproque de h
k la rotation de centre o et d'angle Pi/2 de sens direct
on prend f(x)=s(k(h(x)))
on construit f de la même manière sur R\[-a,a] ( en utilisant une autre bijection)

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