Equivalence d'une integrale

[Glurb]

Bonjour, je bloque à une question sur la recherche d'un équivalent quand a -> + infini de $ \int_0^{1} \frac{x^a\times ln(x)}{x^2-1} dx $.

Donc j'ai essayé une de faire une IPP en prennant la primitive de $ x^a\times ln(x) $ et en derivant$ \frac{1}{x^2-1} $ mais ça n'aboutis pas je me suis dit qu'il faudrait que je derive le ln(x) pour avoir une expression plus simple mais x^a/x^2-1 c'est pas super pour l'integrer :/ ,j'ai aussi essayé en faisant$ \frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^\infty x^{2n} $ mais idem je n'aboutis à rien.

Du coup je pensais faire un changement de variable u = 1/x mais c'est pas super.

Donc je voudrai savoir si quelqu'un a une piste à me donner !
Merci !

[lionel52]

Jai pas essayé mais je me demande si le changement de variiable u = x^a pourrait pas marcher...

[Glurb]

Hmm merci pour ta suggestion mais ça me semble bizarre j'obtiens du $ \frac{ln(u)}{a^2} \times \frac{u^{ \frac{1}{a}}}{(u^{ \frac{1}{a}}^ - 1)(u^{ \frac{1}{a}}+1)} $
Si je pouvais integrer le terme de gauche ça serait bien mais il me semble pas que ça soit possible ^^

[Ali_J]

Quand a est très grand l'intégrande ne prends des valeurs importantes que lorsque x est proche de 1 (à cause du x^a).
Au voisinage de 1 ; ln(x)/(x²-1) = 1/2 ln(x²)/(x²-1) -> 1/2
On conjecture que l'équivalent recherché est l'intégrale de 0 à 1 de x^a * 1/2 = 1/ (2(a+1)) ~ 1/(2a)
Pour prouver ce résultat rigoureusement , étudie la différence entre les deux intégrales et essaie de la majorer convenablement.

[Glurb]

Oui il faut que j'arrive à dominer $ |a{x^{a}(\frac{ln(x)}{x^{2}-1}-\frac{1}{2})| $ mais je ne trouve pas de dominant simple :s

[Ali_J]

On se donne un epsilon (noté e) ; e>0.
Il s'agit de montrer que la différence entre les 2 intégrales ( notées I(a) et J(a) ) est inférieure à e J(a) (en V. absolue) dès que a est suffisamment grand.
On aura dans un voisinage [1-r , 1] l'inégalité | ln(x)/x²-1 - 1/2 | < e
Sépare l'intégrale avec Chasles entre 0 et 1-r puis 1-r et 1.
sur [1-r,1] tu utilises l'inégalité précédente , sur [0,1-r] , prends M un majorant de | ln(x)/x²-1 - 1/2 | sur [0,1-r] (fonction continue sur un compact).
Tu pourras majorer l'intégrale sur [0,1-r] par un terme à dépendance en machin^a avec |machin| < 1 , qui est négligeable devant J(a)

[JeanN]

Tu peux effectuer le changement de variable u=-a*ln(x) puis faire apparaitre du (u/a)/sinh(u/a) exp(-u) dans ton intégrale : c'est ensuite facile à dominer...

[Glurb]

JeanN Du coups je dois dominer $ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-u}}{a}(\frac{u/a}{sinh(u/a)} - \frac{e^{-(u/a)}}{2}) du $ ?
Je peux donc dominer par $ \frac{e^{-u}}{2} $ ?

[JeanN]

T'embête pas avec la différence des deux intégrales...
Pars de l'intégrale initiale, fait le changement de variables, sors le 1/a en facteur et fait apparaitre le (u/a)/sh(u/a)*...

[Glurb]

Donc j'ai $ \frac{1}{a}\int_0^{+\infty} e^{-u}\frac{u/a}{sinh(u/a)} du $ et je dois donc dominer $ e^{-u}\frac{u/a}{sinh(u/a)} $ (enfin je prends une suite an qui tend vers +inf pour appliquer le th de CD)

Mais du coup je bloque car il faut que x tende vers 0 pour que $ \frac{x}{sinh(x)} = 1 $ or l’hypothèse de domination est pour tout n et non pour n = +inf.

Sinon je pourrais prendre $ e^{-u} $ comme majorant.