Argument d'un nombre complexe

[Jay Olsen]

Bonsoir

On cherche une formule pour calculer l'argument d'un nombre complexe, qui fonctionne tout le temps.
C'est à dire que le basique $ arctan(\frac{y}{x}) $ déconne quand on a un x négatif.
Du coup, je me suis monté une formule de toutes pièces pour avoir un truc perso qui fonctionne. On se base sur les fonctions $ 0.5(1+\frac{x}{|x|}) $ et $ 0.5(1-\frac{x}{|x|}) $ qui ont le bon gout de valoir 0 ou 1 suivant le signe de x.
Du coup ça donne :
$ \frac{1}{2} arctan(\frac{y}{x})(1+\frac{x}{|x|}) + \frac{1}{2}(180+arctan(\frac{y}{x}))(1-\frac{x}{|x|}) $

Ce qui fonctionne.. Vous aimez ?

Maintenant, j'ai sorti de mes vieux souvenirs de MP* un truc que notre prof nous avait sorti :
$ \theta = 2arctan(\frac{y}{x+r}) $ c'est à dire $ 2arctan(\frac{y}{x+\sqrt(x^2+y^2)}) $
Mais comment démontrer ce truc ???

L'idée de la démo c'est de prouver que $ x=r cos (\theta) $ et $ y=r sin (\theta) $
On note $ t=\frac{y}{x+r} $ et $ t=tan(\frac{\theta}{2}) $
Ensuite on injecte, ça donne un calcul, chez moi ça marche pas
On peut aussi essayer de calculer directement $ r cos (\theta) $ pour voir que ça fait bien x, mais chez moi ça marche pas non plus.
Enfin, quand je mets la grosse formule obtenue dans un outil qui me fait un plot, on voit bien que ça fait x mais impossible de simplifier..

Y a une démo géométrique ?
Y a une démo qui permette de trouver la formule au lieu de la vérifier ?
Edit : j'ai finalement pu faire mon calcul : je suis effectivement un dinosaure.
Restent les deux questions en gras

Merci

[Oka]

je crois que l'idée c'est de utiliser une application du plan complexe qui divise l'argument principal de chaque point par 2 : on associe au point de coordonnées $ (x,y) $ le point de coordonnées $ (x+r,y) $ . Là forcement l'argument principal de l'image est dans $ ]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ $ donc on peut utiliser la formule $ arctan \frac{y'}{x'} $ puis on multiplie par deux pour avoir l'argument principal de $ (x,y) $

Dans tout les cas on fait "venir" une transformation du plan, on peut voir par le calcul que elle divise bien l'argument par deux comme tu l'as fait ou on peut le voir geometriquement (si tu fais un dessin t'as un losange et tu vois que l'angle est coupé en deux).

Bon après comment trouver l'application par "deduction" (genre "trouver toute les applications qui divisent l'argument principal par deux") je sais pas

edit : ah et aussi ça marche pas si le point a pour coordonnées $ (x,0) $ avec $ x $ negatif (par le calcul ça fait diviser par zero et geometriquement l'image par l'application c'est l'origine)

[Sam-Sam]

Tu as une démonstration ici en page 8 : http://bkristof.free.fr/coursexercices/ ... plexes.pdf

[bullquies]

en gros tu utilises les angles inscrits

si ton complexe $ M(z) $ a un module $ r $ et un argument $ \theta $, tu peux construire le cercle de centre O et de rayon $ r $.

Maintenant place un point disons A en $ (-r,0) $
l'angle formé par l'axe des abscisses et $ [AM) $ est $ \theta / 2 $ (angle inscrit = moitié angle au centre theta)

t'en tires facilement $ tan( \frac{\theta}{2} ) = \frac{y}{r+x} $
ou $ \theta = 2 arctan( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x} ) $

[alm]

Même la formule ci-dessus n'est valable que sur l'ouvert $ \Omega=\mathbb C \backslash \mathbb R_- $. On parle d'une branche de l'argument.
Une preuve simple est de prendre $ z \in \Omega $, alors $ z $ s'écrit $ z=re^{i \theta} $ avec $ \theta \in ]-\pi,\pi[ $ et $ r > 0 $. Si on pose $ z=x+yi $, on a $ x=r\cos\theta $ et $ y=r\sin\theta $. On a d'abord: $ x+r=r(1+\cos \theta) $ , donc $ x+r \neq 0 $. Ensuite, $ \frac{y}{r+x}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\frac{\theta}{2} $ (Rappel: $ \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} $) Comme $ \frac{\theta}{2} \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ $ , il vient: $ \frac{\theta}{2}=\arctan{\frac{y}{x+r}. $, et comme $ r=\sqrt{x^2+y^2} $, on a laformule désirée; à savoir: $ \theta=2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}} $.
Si on note $ \forall z \in \Omega, \;\text{Arg}(z)=2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}} $ (determination principale de l'argument), elle permet de définir la determination principale du logarithme complexe, à savoir: $ \forall z \in \Omega,\; \text{Log}(z)=\ln |z|+ i \text{Arg}(z) $: C'est une fonction holomorphe sur l'ouvert $ \Omega $ (donc analytique).


Edit: Attention, pour ne pas induire quelqu'un en erreur c'est la fonction $ \text{Log} $ qui est holomorphe et non pas $ \text{Arg} $ (qui n'est que la partie imaginaire de la première). [Erreur signalée par darklol ci-dessosus.] : j'ai donc édité le post.

[Jay Olsen]

Même la formule ci-dessus n'est valable que sur l'ouvert $ \Omega=\mathbb C \backslash \mathbb R_- $. On parle d'une branche de l'argument.
C'est une fonction holomorphe sur l'ouvert $ \Omega $ (donc analytique).
Une preuve simple est de prendre $ z \in \Omega $, alors $ z $ s'écrit $ z=re^{i \theta} $ avec $ \theta \in ]-\pi,\pi[ $ et $ r > 0 $. Si on pose $ z=x+yi $, on a $ x=r\cos\theta $ et $ y=r\sin\theta $. On a d'abord: $ x+r=r(1+\cos \theta) $ , donc $ x+r \neq 0 $. Ensuite, $ \frac{y}{r+x}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\frac{\theta}{2} $ (Rappel: $ \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} $) Comme $ \frac{\theta}{2} \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ $ , il vient: $ \frac{\theta}{2}=\arctan{\frac{y}{x+r}. $, et comme r=\sqrt{x^2+y^2}, on a laformule désirée; à savoir: $ \theta=2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}} $.
Si on note $ \forall z \in \Omega, \;\text{Arg}(z)=2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}} $ (determination principale de l'argument), elle permet de définir la determination principale du logarithme complexe, à savoir: $ \forall z \in \Omega,\; \text{Log}(z)=\ln |z|+ i \text{Arg}(z) $

Du coup la vrai fonction qu'il faut, si on note l'argument θ=f(x,y), c'est :
if(iserror(f(x,y));180;f(x,y))

Ta démo en utilisant la formule du demi angle de tan est ultra rapide aussi.
Marrant ce log complexe, il sert à quoi ?

En fait la preuve idéale c'est le losange.

Merci pour vos réponses.

[darklol]

Même la formule ci-dessus n'est valable que sur l'ouvert $ \Omega=\mathbb C \backslash \mathbb R_- $. On parle d'une branche de l'argument.
C'est une fonction holomorphe sur l'ouvert $ \Omega $ (donc analytique).

Non c'est faux, ça n'est pas une fonction holomorphe sur $ \Omega $. Rappelons qu'une fonction holomorphe à valeurs réelles sur un ouvert connexe est constante (à cause des équations de Cauchy-Riemann), ce qui n'est a priori pas le cas de l'argument.

Par contre, le logarithme complexe tel que tu le définis est holomorphe sur $ \Omega $.

[alm]

Même la formule ci-dessus n'est valable que sur l'ouvert $ \Omega=\mathbb C \backslash \mathbb R_- $. On parle d'une branche de l'argument.
C'est une fonction holomorphe sur l'ouvert $ \Omega $ (donc analytique).

Non c'est faux, ça n'est pas une fonction holomorphe sur $ \Omega $. Rappelons qu'une fonction holomorphe à valeurs réelles sur un ouvert connexe est constante (à cause des équations de Cauchy-Riemann), ce qui n'est a priori pas le cas de l'argument.

Par contre, le logarithme complexe tel que tu le définis est holomorphe sur $ \Omega $.

Oui! tu as raison, c'est faux et j'étais rapide à parler d'holomorphe avant le bon moment : celui de l'introduction de $ \text{Log} $.
$ \text{Arg} $ n'est que la partie imaginaire d'une fonction holomorphe.
Merci pour avoir signaler cette erreur.

[alm]

Marrant ce log complexe, il sert à quoi ?

C'est un prologement analytique de la fonction $ \ln $ traditionnelle.
C'est la fonction réciproque de $ \text{\exp}: U \to \mathbb C; z\mapsto \exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} $ où $ U=\mathbb R + i ]-\pi,\pi[ $ (qui est un ouvert de $ \mathbb C $ et $ \exp $ est holomorphe sur $ U $ )

En utilisant l'analycité au point $ 1 $ de $ \text{Log} $, on trouve : $ \forall |z| < 1, \text{Log}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{z^n}{n} $

On s'en insipre pour étudier une série de la forme $ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{M^n}{n} $ où $ M \in \mathcal M_n(\mathbb K) $ où $ \mathbb K=\mathbb R $ ou $ \mathbb C $, $ \mathcal M_n(\mathbb K) $ étant muni d'une norme matricielle, notament si on veut faire un lien entre la somme de cette série et l'exponentielle de matrices ...