Irrationnalité de e - étude de sin(pi*e*n!)

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Irrationnalité de e - étude de sin(pi*e*n!)

Message par remontees » 09 août 2016 12:01

Bonjour,

Je bloque sur un exercice qui a pour but d'étudier la suite $ w_n = sin(\pi e n!) $.
On a défini les suites : $ u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} $ et $ v_n = u_n + \frac{1}{nn!} $.

J'ai réussi à montrer que $ v_n-v_{n+1} \leq v_n - e \leq v_n - u_{n-3} $

Je bloque pour déterminer la limite de $ n^3n!(v_n-e) $ sachant que j'ai essayé de calculer explicitement $ n^3n!(v_n-v_{n+1}) = \frac{n^2}{(n+1)^2} $ et $ n^3n!(v_n-u_{n-3} = n^2(n^3+n+1) $ mais ça ne mène à rien puisqu'on ne peut rien en déduire par le théorème des Gendarmes.

Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller vers ce qu'il faut faire ? Je n'arrive plus à avoir les idées claires sur cet exercice :)

Bonne journée à vous tous !
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Re: Irrationnalité de e - étude de sin(pi*e*n!)

Message par kakille » 10 août 2016 10:48

Si tout ce que tu écris est juste (ce que je n'ai pas vérifié), cela ne te permet pas de prouver la convergence par le théorème des gendarmes.

Donc :
1. Soit il y a une erreur dans tes calculs.
2. Soit tu ne ne perçois pas bien le chemin que l'énoncé veut te faire emprunter.
3. Soit l'énoncé est vérolé.

Et si tu le postais ?
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: Irrationnalité de e - étude de sin(pi*e*n!)

Message par Kallio » 10 août 2016 11:45

Les suites $ (u_n) $ et $ (v_n) $ que tu as définies convergent vers $ e $ (elles sont même adjacentes), pourquoi ne pas essayer d'exprimer $ en! $ différemment ? Ici il faudrait en fait montrer que $ en! $ se rapproche d'un entier, ce qui te permettra de dire que $ (w_n) $ converge vers $ 0 $. (Dans le même genre, tu pourrais étudier la convergence de $ sin((2+\sqrt{3})^{n}\pi) $ )
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Re: Irrationnalité de e - étude de sin(pi*e*n!)

Message par remontees » 10 août 2016 11:54

Merci pour vos réponses !

Voici l'énoncé complet :
On pose $ u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} $ et $ v_n = u_n + \frac{1}{nn!} $.
a.) Montrer que $ u_n $ et $ v_n $ convergent vers un même réel $ e $ → OK !
b.) Montrer que $ e $ est irrationnel (on posera $ e = \frac{p}{q} $). → OK !
c.) Montrer que $ v_n - v_{n+1} \leq v_n - e \leq v_n - u_{n-3} $. (j'ai commencé par montrer l'inégalité sans ajouter v_n, par encadrement de $ e $) En déduire $ lim(n^3 n! (v_n - e)) $. → là je commence à bloquer sec !
d.) Étudier $ w_n = sin(\pi e n!) $ en posant $ e = u_n + \frac{\theta_n}{nn!} $). → Niveau démarche je vois à peu près pourquoi on pose ça comme ça, mais je pense que le résultat de la limite précédente me bloque pour comprendre où l'on va !).
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Re: Irrationnalité de e - étude de sin(pi*e*n!)

Message par kakille » 11 août 2016 17:47

ce serait pas : $ v_n-u_{n+3} $ ?
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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