Matrice, Rang et Valeurs propres

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Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par THE PISTOLERO » 13 nov. 2016 15:53

Salutations :D

Alors voilà : j'ai une matrice A de taille nxn et de rang 2, représentant une application f.
La question est la suivante : Montrer que 0 est valeur propre et calculer sa multiplicité.

Pour la multiplicité, notée m(0) :
m(0) = dim(ker(f-0)) = dim(ker(f)) = n - dim(Im(f)) = n - rg(f) = n-2

Mais je ne vois pas du tout pourquoi 0 est nécessairement une valeur propre d'une matrice de rang 2...
C'est sûrement tout bête mais je bloque...

Merci d'avance :)

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Re: Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par naTsu » 13 nov. 2016 16:16

Déjà , la dimension de ker(f) est inférieure ou égale à la multiplicité et pas nécessairement égale. ( Propriétés du cours )
0 est valeur propre car dimension de ker(f) est supérieure ou égale à 1 sauf si n=2 .
et pour calculer exactement la multiplicité , je pense que tu ne peux pas conclure juste avec les données mentionnés.

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Re: Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par THE PISTOLERO » 13 nov. 2016 16:53

Merci pour cette réponse :)

Mais pourtant, si a est une valeur propre de A, alors :
- son sous-espace propre associé est : ker(f-ai) où i est l'identité.
- l'ordre de multiplicité de a est la dimension du sous-espace propre associé à a.

Donc finalement :
m(a) = dim ker(f-ai)

Et dans le cas où a = 0 on a alors :
m(0) = dim(ker(f-0i)) = dim(ker f)

Par le théorème du rang : n = rg(f) + dim(ker f) = rg(f) + m(0)
Donc m(0) = n - rg(f) = n - rg(A) = n-2.

Ce raisonnement est-il correct ?
Il permet de calculer la multiplicité de 0...

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Re: Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par naTsu » 13 nov. 2016 17:21

C'est ça le problème , la propriété du cours dit que : Si a est valeur propre d'une matrice A d'ordre n alors 1 =< dim(ker(A-aIn)) =< la multiplicité de a .
Donc d'après ton raisonnement tu peux juste dire que la multiplicité de 0 est supérieure ou égale a n-2 et non pas égale .

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Re: Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par JeanN » 13 nov. 2016 19:32

Il y a deux multiplicités pour une valeur propre

La dimension du sous-espace propre associé est couramment appelée multiplicité géométrique
La multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique est souvent appelée multiplicité algébrique
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Re: Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par THE PISTOLERO » 13 nov. 2016 20:19

Ah ok ! Merci pour ces réponses :)
Du coup :

J'ai montré (dans une question précédente) que la matrice A est diagonalisable, car elle est symétrique.
Je sais que 0 est valeur propre.
Du coup, avec le raisonnement précédent, je calcule la multiplicité géométrique de 0, et je trouve bien n-2.
Et comme A est diagonalisable, je sais que la multiplicité géométrique est égale à la multiplicité algébrique.
D'où : m(0) = n-2

Cette fois est-ce correct ?
Merci

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Re: Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par JeanN » 13 nov. 2016 20:25

Oui
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Re: Matrice, Rang et Valeurs propres

Message par THE PISTOLERO » 13 nov. 2016 20:27

D'accord merci pour votre aide :)

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