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Extraction de sin(n)

Posté : 20 nov. 2016 22:26
par Geremy
D'après le théorème de Bolzano-Weirstrass, on sait que sin(n) admet une suite extraite qui converge , est-ce que quelqu'un connait une telle suite ? Parce que j'ai beau cherché mais ... en vain !

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 20 nov. 2016 23:16
par Syl20
Par exemple la suite un=max{sin(k)|sin(k)<1/2} (avec k=<n) converge vers 1/2 si c'est ce que tu cherches ;)

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 21 nov. 2016 00:40
par Geremy
Euuh, quelle est la fonction extractrice que t'as considérée ?

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 21 nov. 2016 00:41
par Geremy
Euuh pour JustSayin;
Oui.... bof , ça n'a pas trop d'importance puisqu'elles sont condensées dans [-1,1], mais bon je me posais cette question d'extraction et ça me taraudait ^^'

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 21 nov. 2016 22:11
par Syl20
[quote="Geremy"]Euuh, quelle est la fonction extractrice que t'as considérée ?[/quote]
Tu peux considerer l'extractrice f telle que n est dans f(N) ssi sin(n)=max pour k<=n de {sin(k)|sin(k)<1/2}. Ca te donne une suite croissante qui va bien converger vers 1/2 car sin est dense dans [-1,1] comme le dit Just Sayin (ce qui te permet d'ailleurs de trouver une suite extraite qui converge vers tout element de [-1,1])

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 21 nov. 2016 23:31
par siro
[quote="JustSayin'"]Geremy : ta question est intéressante, mais je ne pense pas qu'il y ait de fonction extractrice explicite parce que sin(n) a un comportement "chaotique".[/quote]
Avec un développement en fraction continue ça doit se tenter d'approximer [\Pi] par une suite d'entiers. (Enfin son équivalent sur le cercle, avec des classes.)

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 22 nov. 2016 00:08
par Geremy
[quote="Syl20"][quote="Geremy"]Euuh, quelle est la fonction extractrice que t'as considérée ?[/quote]
Tu peux considerer l'extractrice f telle que n est dans f(N) ssi sin(n)=max pour k<=n de {sin(k)|sin(k)<1/2}. Ca te donne une suite croissante qui va bien converger vers 1/2 car sin est dense dans [-1,1] comme le dit Just Sayin (ce qui te permet d'ailleurs de trouver une suite extraite qui converge vers tout element de [-1,1])[/quote]

Je crois que, soit ta définition pour la fonction est mal faite, soit j'ai pas bien compris ... Prière de plus de clarification

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 24 nov. 2016 20:50
par lsjduejd
Avec le développement en série de Engel de pi je pense que y'a moyen de trouver quelque chose ;)

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 29 nov. 2016 18:03
par Geremy
Quel est cet développement ? :)

Re: Extraction de sin(n)

Posté : 02 déc. 2016 19:19
par lsjduejd
Le développement en série de Engel pi est une suite $ u $ d'entiers strictement positifs croissante vérifiant :
$ \pi=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{u_0*u_1*...*u_k} $

On peut facilement montrer que $ 1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n-\pi*u_0*u_1*...*u_n \limits 0 $
On peut en déduire que $ sin(1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n)\limits 0 $
Du coup on peut considérer la fonction extractrice : $ \phi :n \mapsto 1+\sum_{k=1}^n u_{k}*...*u_n $. Il y a une formule de récurrence simple pour calculer les termes de $ u $.
On peut trouver plus d'informations sur cette suite ici : https://oeis.org/A006784