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Message par beornottobe » 03 oct. 2006 23:01

f est une fonction dérivable si f' ne s'annule pas alor f est injective cette prop n'est vérifié que lorsque f est de classe C1 n'est ce pas? :!: :!:

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Message par RP1700 » 03 oct. 2006 23:16

Si elle est de classe C1, tu as même une fonction bijective :

Si f' continue sur un intervalle I et ne s'annule pas, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, qui nous dira que f' est de signe constant sur I. On choisit f'(x) >0 pour tout x dans I (pour f'(x)<0, ça change rien à la démonstration pratiquement).

Dans ce cas, f est strictement monotone (dérivée toujours strictement positive). Du coup, on peut appliquer le théorème de bijection. Donc f est injective ET surjective sur I.

D'ailleurs on peut être moins contraignant avec f' et dire qu'elle est non nulle sur un intervalle : si elle s'annule sur un nombre fini de valeurs de x, ça marche ausi.
Modifié en dernier par RP1700 le 03 oct. 2006 23:46, modifié 1 fois.

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Re: fonctions

Message par » 03 oct. 2006 23:40

beornottobe a écrit :f est une fonction dérivable si f' ne s'annule pas alor f est injective cette prop n'est vérifié que lorsque f est de classe C1 n'est ce pas?
La question est mal posée: il faut bien préciser que la fonction est définie sur un intervalle.
Dans ce cas, c'est même vrai pour une fonction dérivable mais pas forcément C1, cf le théorème de Darboux: une fonction dérivée possède la propriété des valeurs intermédiaires même si elle n'est pas continue, donc est de signe constant strict si elle ne s'annulle pas, et sur un intervalle ceci entraîne la monotonie stricte, donc l'injectivité.

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Message par Philippe PATTE » 04 oct. 2006 00:17

Si f est dérivable sur un intervalle I et si f' ne s'annule pas, par contraposition du théorème de Rolle, f est effectivement injective.
Philippe PATTE
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Re: fonctions

Message par beornottobe » 04 oct. 2006 02:56

La question est mal posée: il faut bien préciser que la fonction est définie sur un intervalle.
la fonction est défini sur un intervalle merci pour votre remarque prof

Dans ce cas, c'est même vrai pour une fonction dérivable mais pas forcément C1, cf le théorème de Darboux
est ce que que théorème de Darboux est dans le programme de spé :?:

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Message par JeanN » 04 oct. 2006 07:51

Non
Mais c'est un exo assez classique. En fait, même si vous savez le démontrer il est très déconseillé d'en parler à l'oral comme de tout résultat hors programme...
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

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