Les dattes à Dattier

[alvaare]

A/ bravo

B/ J'ai un problème car on dirait que tu n'utilises pas le fait que g(t)>=0, or c'est important :
Prends par exemple $$\int_0^1 \sin(x-1-E(x-1))\text{d}x = -\int_0^1 \sin(x) \text{d}x$$

$\forall x \in [0; 1[, E(x-1)=-1$, non?

[LaCompagnieDuPâté]

Je crois que la convention est plutôt de prendre toujours l’entier inférieur.

[alvaare]

Dans ce cas, il me semble que c'est correct.

De toutes manières, le problème est invariant par translation de g, donc l'hypothèse g>=0 ne peut pas être nécessaire.

[BobbyJoe]

J'aimerais bien voir le résultat de la question $ $$206$ démontré sans utiliser le théorème d'invariance de Brouwer....

[matmeca_mcf1]

Si "continue implique graphe fermé" est vraie, la réciproque ne l'est pas. C'est vrai pour les applications linéaires entre espaces complets (théorème de l'application ouverte).

L'application:
$$
\phi\colon[0,2\pi[\to\mathbb{S}^1\\
t\mapsto (\cos(t),\sin(t))
$$
est bijective, continue. Son graphe est fermé, le graphe de sa bijection réciproque (ou inverse) est bien fermé. Mais sa bijection répciproque ou inverse n'est pas continue.

[BobbyJoe]

Oui, c'est bien ce que je me disais car ton énoncé est équivalent au théorème d'invariance de Brouwer ^^ Donc, bonne chance en MP ^^

[matmeca_mcf1]

Il y a une preuve "élémentaire" du théorème de Brouwer dans le "Hurewicz et Wallman: dimension theory". Elle fait quand même entre deux ou trois pages d'après mes souvenirs.

[matmeca_mcf1]

210 : la bonne surprise homéomorphique ?
Si $ f $ continue injectif de $(E,d)$ espace métrique dans lui même. A-t-on $f(E)$ et $E$ homéomorphe ?

Non: On pose
$$ \mathbb{S}^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\} $$
Puis
$$
E=[0,2\pi[\times\{0\}\times\{0\}\cup\mathbb{S}^1\times\mathbb{N}^*
$$
Pui,s on pose
$$
f\colon E\to E\\
(x,y,z)\mapsto
\begin{cases}
(\cos(x),\sin(x),1)&\text{si $z=0$}\\
(x,y,z+1)&\text{si $z\in\mathbb{N}^*$}
\end{cases}
$$

[alvaare]

214 : Récurrence continu
On cherche à montrer que $ \forall x \in \mathbb R, P(x) $, avec les conditions :
- $P(0)$
- $F=\{x \in \mathbb R \text{ ; } P(x)\}$ est fermé
- $a,b\in\mathbb R$ et $\forall x \in \mathbb R$ si $P(x)$ alors $P(x+a)$ et $P(x+b)$.

Trouver une condition suffisante sur $a,b$ pour que $\forall x \in \mathbb R, P(x)$.

Si: $$ \exists d \in \mathbb{Q}, a=db $$ alors on ne peut pas affirmer que $\forall x \in \mathbb R, P(x)$ (on ne peut l'affirmer que sur un ensemble de la forme $c\mathbb{Z}, c\in \mathbb{R}$et on ne peut pas appliquer la deuxième hypothèse.)
Par contre, si on suppose le contraire, alors $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} \subset F$. Donc $F$ est un fermé contenant une partie dense de $\mathbb{R}$, on conclut que $F=\mathbb{R}$.

[alvaare]

215 : densité en dimension supérieur
Soit $ n>1 $. A-t-on $\exists a,b \in\mathbb R^n$ tel que $a\mathbb Z+b\mathbb Z$ dense dans $\mathbb R^n$ ?

Non, on peut le voir pour $n=2$. Quitte à appliquer une rotation et une homothétie on peut supposer que le premier vecteur est $(1,0)$. Alors b est de la forme quelconque $(x, y)$. On remarque qu'on ne peut atteindre que les vecteurs dont la deuxième coordonnée est de la forme $y\mathbb{Z}$, ce qui contredit la densité de $a\mathbb Z+b\mathbb Z$.