Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » 23 sept. 2018 21:34

Dattier a écrit :
23 sept. 2018 21:02
@Alvaare : bien vu
Mais ici, c'est $a \mathbb N+b \mathbb N$ qui nous intéresse.
En effet. Il faut alors rajouter la condition $ab<0$, n'est-ce pas?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par darktaupin » 24 sept. 2018 00:35

Dattier a écrit :
23 sept. 2018 17:04
Bonjour,

@BobbyJoe : Sache que la solution normalement je la réserve pour un livre ou autre.
En fait ce fil t'aide un peu à l'écrire non :lol: ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par darktaupin » 24 sept. 2018 17:34

Dattier a écrit :
24 sept. 2018 15:08
Oui, dans certains cas :D
Je vais essayer d'en résoudre une ou deux pour être dans les remerciements :lol:

à partir de combien on passe co-auteur ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » 26 sept. 2018 11:45

Dattier a écrit :
25 sept. 2018 18:25
217 : série continuement représentée
Soit $ (a_k)_k \in (\mathbb R_+^*)^{\mathbb N} $ tel que $\sum \limits_{k=1}^\infty a_k=1$ et $\forall b \in [0,1], \exists (c_k)_k \in \{0,1\}^{\mathbb N}, b=\sum c_k\times a_k$.
A-t-on $\exists (c_k),(c'_k) \in \{0,1\}^{\mathbb N}$ tel que $(c_k)\neq (c'_k)$ et $\sum c_k \times a_k=\sum c'_k \times a_k$ ?
Oui. La condition impose $a_0 \leq 0.5$ car sinon on ne peut pas atteindre 0.5 en sommant des $a_k$. On prend alors la suite $1, 0, 0, 0...$ et $c_k$ définie par récurrence:
-$c_0 = 0$
-Si $\sum \limits_{k=0}^n c_k \times a_k + a_{n+1} \leq a_0$ alors $c_{n+1}=1$ sinon $c_{n+1}=0$.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » 26 sept. 2018 12:25

Il est clair que $\sum c_ka_k$ ne dépasse pas $a_0$ par construction. Si $\sum c_ka_k < a_0$ alors $]\sum c_ka_k, a_0[$ n'est pas atteignable, ce qui contredit l'hypothèse.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » 26 sept. 2018 14:21

Je ne précise pas trop mes réponses parce que latex est laborieux, mais voici ma réponse plus détaillé.
-On remarque qu'on peut supposer la suite $a_k$ strictement décroissante. En effet, si deux termes sont égaux alors trouver les deux suites $(c_k)$ et $(c_k')$ devient très facile: on les prend égales à un seulement pour chacun des termes respectivement. Pour qu'elle soit décroissante on peut prendre par récurrence le max des termes restants.
-Ensuite, on remarque que les facteurs $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ ne peuvent pas être tous plus grands que $2$; sinon, l'hypothèse n'est pas vérifiée (il faut que je détaille?). Par exemple, dans le cas limite où $\forall k \in \mathbb{N}, \frac{a_k}{a_{k+1}}=2$ on peut prendre $(1, 0, 0...)$ et $(0, 1, 1...)$.
-On considère alors le premier entier $n$ tel que $\frac{a_n}{a_{n+1}}<2$. Par hypothèse, il existe une suite $(c_k^*)$ telle que $\sum\limits_{n+1}^{\infty} c_k^*a_k = a_n-a_{n-1}$.
-On prend finalement la suite qui vaut $0$ partout sauf à la $n-1$-ième place et $(c_k^*)$ avec un $1$ à la $n$-ième place.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » 26 sept. 2018 17:02

Dattier a écrit :
26 sept. 2018 16:22
1/ Qu'est-ce que tu fais si ce n=0 ?

2/ Quelles sont les 2 séries égales ?
Il y a en effet une erreur dans les indices. Voici la preuve corrigée:

-On remarque qu'on peut supposer la suite $a_k$ strictement décroissante. En effet, si deux termes sont égaux alors trouver les deux suites $(c_k)$ et $(c_k')$ devient très facile: on les prend égales à un seulement pour chacun des termes respectivement. Pour qu'elle soit décroissante on peut prendre par récurrence le max des termes restants.
-Ensuite, on remarque que les facteurs $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ ne peuvent pas être tous plus grands que $2$; sinon, l'hypothèse n'est pas vérifiée (il faut que je détaille?). Par exemple, dans le cas limite où $\forall k \in \mathbb{N}, \frac{a_k}{a_{k+1}}=2$ on peut prendre $(1, 0, 0...)$ et $(0, 1, 1...)$.
-On considère alors le premier entier $n$ tel que $\frac{a_n}{a_{n+1}}<2$. Par hypothèse, il existe une suite $(c_k^*)$ telle que $\sum\limits_{n+2}^{\infty} c_k^*a_k = a_n-a_{n+1}$.
-On prend finalement la suite qui vaut $0$ partout sauf à la $n$-ième place, notée $(c_k)$; et la suite $(c_k^*)$ avec un $1$ à la $n+1$-ième place, notée $(c_k')$. En effet:
$$\sum c_ka_k=a_n$$
$$\sum c_k'a_k=a_{n+1}+\sum\limits_{n+2}^{\infty} c_k^*a_k = a_{n+1}+a_n-a_{n+1}=a_n$$
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 30 sept. 2018 16:04

Pour la $ $$220.$
SPOILER:

*On considère $ $$\displaystyle K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ qui est compact pour la métrique $d$ (cela provient du fait que la suite $a$ est strictement positive) définie par
$ $$\displaystyle \forall \varepsilon,\varepsilon'\in K^{2},\mbox{ } d(\varepsilon,\varepsilon')=\sum\limits_{k\geq 0}\vert \varepsilon_{k}-\varepsilon_{k'}\vert a_{k}.$

En effet, soit $ $$\displaystyle (\varepsilon_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d''éléments de $K.$ On note alors pour $ $$\displaystyle n\in \mathbb{N},$ $\varepsilon_{n}=(\varepsilon_{n,k})_{k\geq 0}.$

Par un procédé diagonal, il existe une extraction $\psi$ tel que $ $$\forall k\in \mathbb{N},\mbox{ } \varepsilon_{\psi(n),k}\rightarrow_{n\rightarrow +\infty} \varepsilon_{k}.$

Alors, on a en notant $ $$\varepsilon=(\varepsilon_{k})_{k\geq 0},$ il vient :
\begin{align*}
\forall N\geq 0, \mbox{ } d(\varepsilon_{\psi(n)},\varepsilon) & = \sum_{k=0}^{N}\vert \varepsilon_{\psi_{n},k}-\varepsilon_{k}\vert a_{k}+\sum_{k\geq N+1}\vert \varepsilon_{\phi_{n},k}-\varepsilon_{k}\vert a_{k}\\
& \leq C\max_{k=0,\ldots,N} \vert \varepsilon_{\psi_{n},k}-\varepsilon_{k}\vert a_{k}+ \sup_{k\geq N}\left(\sum_{l\geq k}a_{l}\right).
\end{align*}

On obtient alors par le procédé diagonal $ $$\displaystyle \limsup_{n\rightarrow +\infty}d(\varepsilon_{\psi(n)},\varepsilon)\leq \sup_{k\geq N}\sum_{l\geq k}a_{k},$ puis le résultat désiré en faisant tendre $N$ vers $+\infty$ i.e. compte tenu de la condition de sommabilité sur la suite $a.$


**Ainsi, l'application $ $$\displaystyle \phi : (K,d)\rightarrow (C,\vert . \vert)$ définie par $ $$\displaystyle \forall \varepsilon\in K,\mbox{ } \phi(\varepsilon)=\sum\limits_{k\geq 0}\varepsilon_{k}a_{k}$ est continue (même une isométrie)
et $C$ (qui est par essence l'image de $\phi$) est compact car se présente comme l'image d'un compact par une application continue.
Modifié en dernier par BobbyJoe le 02 oct. 2018 08:06, modifié 3 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 02 oct. 2018 00:45

1) Connais-tu la définition d'isométrie? ...
On a effectivement pour tout $(\varepsilon,\varepsilon)'\in K^{2},$ $\vert \phi(\varepsilon)-\phi(\varepsilon') \vert = d(\varepsilon,\varepsilon').$
2) J'ai spécifié les espaces métriques, munis des bonnes distances : respectivement $(K,d)$ au départ et $(C,\vert .\vert )$ à l'arrivée...
Et donc, $C$ est compact comme image par une application continue d'un compact.
Modifié en dernier par BobbyJoe le 02 oct. 2018 07:59, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 02 oct. 2018 08:02

Non, mais d'accord, on a seulement : pour tout $(\varepsilon,\varepsilon)'\in K^{2},$ $\vert \phi(\varepsilon)-\phi(\varepsilon') \vert \leq d(\varepsilon,\varepsilon'),$ ce qui est suffisant pour conclure!

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