Dans cette solution, je commence par utiliser une partie de 192:
$\sum \limits_{a\in A} a=0$ implique que N impair.
On écrit alors N = 2N'+1, N' naturel.
J'utilise le résultat connu: $\sum \limits_{a\in A} a^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$
$\sum \limits_{a\in A} a^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ = 0 si N divise $\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ donc si il existe un entier naturel non-nul K tel que $K.N = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$,
ce qui revient à chercher K entier tel que $K = \frac{(N+1)(2N+1)}{6}$
D'où 6 divise K. Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, et que 2.3=6, alors:
=> soit 2 divise N+1 et alors 3 divise 2N+1,
=> soit encore 2 divise N+1 et aussi 3 divise N+1,
Les autres options sont disqualifiées d'entrée: 2N+1 est impair, 2 ne le divise pas.
Il reste alors :
=> la première option: 2 divise N+1 et 3 divise 2N+1.
=> la deuxième option: 2 ainsi que 3 divisent N+1.
Pour la première option:
2 divise N+1, N étant impair, et 3 doit diviser 2N+1. On va cette fois noter 2N+1 = 3.K', K' naturel non-nul,
ce qui donne :
$K' = \frac{2N+1}{3}$ = $\frac{2(2N'+1)+1}{3}$ = $\frac{4N'+3}{3}$ = $\frac{4N'}{3} + 1$
K naturel d'une part, 4 et 3 premiers entre eux d'autre part, ce qui implique que 3 divise N'.
N' est un multiple de 3,
N est donc un entier impair constitué du double d'un multiple de 3 auquel on ajoute 1.
Pour la deuxième option:
2 divise N+1, N étant impair, et 3 doit diviser N+1. On va cette fois noter N+1 = 2.3.R, R naturel non-nul,
ce qui donne :
$R = \frac{N+1}{6}$ = $\frac{(2N'+1)+1}{6}$ = $\frac{2N'+2}{6}$ = $\frac{N'+1}{3}$
Comme R est entier, 3 divise N'+1, il existe un R' naturel non-nul tel que N'+1 = 3.R', ce qui donne N' = 3R' -1
puis N = 6R' -2+1 = 6R'-1.
N est donc un entier impair constitué du double d'un multiple de 3 auquel on enlève 1.
En définitive, N doit être le double d'un multiple de 3 auquel on enlève ou on ajoute 1.
