Les dattes à Dattier

[Mathoss]

Citations Mathoss :
1/ Si dans un groupe fini l'équation x^d = e (le neutre du groupe) a au plus de solutions pour tout de>=1, alors G est cyclique déjà...
2/ On se ramène à l'équation homogène d*(x-y)=0 qui a exactement n solutions si d est premier avec n...

1/ Je ne connais pas ce résultat (dans le cas non forcément commutatif), aurais-tu un lien ? de=d ?

2/ Si d et n sont premiers alors on a une seule solution, non ?

Oui j'ai craqué.
Ce résultat permet déjà de ramener le cas général d'un groupe fini au cas cyclique des Z/nZ!
Donc, comme les Z/nZ conviennent d'après le message plus haut de Saywsw, on en conclut que il s'agit exactement des groupes cycliques!

[Mathoss]

Bonjour,

énoncé 129 : CNS de bijectivité
Soit $p>5$ un nombre permier, $P \in \mathbb F_p[x]$, tel que $\text{deg}(P)=3$.
Trouver une CNS sur $p$ et $P$ pour que $P$ soit une bijection.

Bonne journée.

Je ne comprends pas l'énoncé, une bijection de quoi sur quoi?

[oty20]

270 : suite de P-Cauchy
On dit que $x_n$ suite d'un espace métrique est de P-Cauchy (P pour pseudo) ssi :
$\forall e>0, \exists N \in \mathbb N, \forall n \in\mathbb N,n\geq N,\exists P \in \mathbb N, \forall p \in\mathbb N, p \geq P, |x_n-x_p| \leq e$

Une suite de P-Cauchy est-elle de Cauchy ?

tentative rapide en attente de la fin du téléchargement de l'épisode 2 de got,

Il me semble qu'il suffit d'éliminer le $ n $
soit $ r>0 $ on dispose de $ N(r) $ de sorte que $ n\geq N(r) $ on ait $ P(n,r) $ tel que :
$ \forall p \geq P(n,r) : |x_{n}-x_{p}| \leq \frac{r}{2} $

soient donc $ p,q \geq P(n,r) $ alors par inégalité triangulaire $ |x_{p}-x_{q}|\leq |x_{p}-x_{n}|+|x_{n}-x_{q}| \leq r $

[Nabuco]

Pour la 259.1 déjà si f est une bijection de signature -1 elle n'a pas de racine, j'ai du mal à voir ce que veut dire la question 2

[mik2000]

Salut Mister dates, bonne idée le pdf ! Tes exos ont l'air cool ! J'espère trouver un moment en juillet maybe pour plancher dessus !

Ps : ça correspond à quel niveau ou quelles " écoles " ? Olympiades, ENS , trucs que font les british ? Tu les créés toi même ou tu t inspires d un cours ? Merci
Ps2: ça na pas du tout la tronche des exos d oraux , même X, en tout cas

Mik

[mik2000]

Okay je vois ! Coool
C'est vrai que ça fait olympiades " internationales" bien que je n'ai jamais eu le temps de les passer
( ps : j avais feuilleté ce bouquin mais faute de temps je n'ai pas cherche d exos
https://www.amazon.fr/Hypermath-120-exe ... 2711753018)
Ps2: je trouve très bonne ton initiative, le seul soucis encore une fois cest le manque de temps ...)

Tu m'as l'air vachement investi dans les maths c'est trop biiiien, après je ne sais pas si ton public se trouve sur ce forum.. .. créé un site Web !

Mik

[mik2000]

Donc c'est des maths " brèves "... et efficaces ! Un peu tout le contraire des maths en mpsi MP ou ça dure ... des heures pour.. .. des matrices symétriques définies positives encore

[oty20]

Bonjour,


énoncé 120 : préliminaire aux 118
A-t-on $ 2=\sqrt{2+\sqrt{2+...}} $ et $\phi=\sqrt{1+\sqrt{1+...}}$ ?


Bonne journée.

Celui là à subsister trop longtemps.
voici 2 approche : Lemme si on pose $x_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}$ avec $n$ apparition du chiffre $2$, alors $x_{n}=2 \cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$ (preuve se fait par une récurrence simple) ce qui permet de conclure par passage à la limite sinon :

on s’intéresse à la limite de $x_{n}$ avec $x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$ on a $x_{n} \in ]0,2[$ $x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}=(2+x_{n})-(2+x_{n-1})=x_{n}-x_{n-1}$ comme $x_{1} <x_{2}$ la suite est croissante donc converge vers $l$ avec $l=\sqrt{2+l}$ on garde $l=2$ .

Pour la seconde on fait un raisonnement analogue sauf que cette fois on finit avec $x_{n+1}=\sqrt{1+x_{n}}$ avec $x_{1}=1$ et donc $x_{n+1}^{2}=1+x_{n}$ la suite est clairement croissante il suffit démontrer qu'elle est majoré pour conclure, on cherche $M$ tel que $x_{n} \leq M$ pour tout $n$, supposant $x_{n}\leq M$ pour un certain $n$ , il faut que $x_{n+1}^{2}=1+x_{n}$ soit aussi majoré par $M$, donc $\sqrt{1+M} \leq M$ on prend donc $M=\frac{1}{2} (1+\sqrt{5})=\phi$ on vérifie aisément que $x_{n} \leq \phi$ par récurrence, ce qui permet de conclure encore une fois.

[oty20]

Bonjour,

énoncé 119 : préliminaire aux 118
A-t-on $\forall (e_n)_n\in\{1,2\}, \sqrt{e_1+\sqrt{e_2+...}}$ est défini ?


Bonne journée.

On pose $x_{n}=\sqrt{e_{1}+\sqrt{e_{2}+...+\sqrt{e_{n}}}}$ $x_{n}$ est clairement croissante avec
on a $e_{n} \leq 2$ donc $x_{n} \leq \sqrt{2+\sqrt{2+.......}}=2$ par suite $x_{n}$ converge donc c'est bien définie.

[oty20]

énoncé 118 : limite en or
Soit $a\in [\phi,2]$ (avec $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ le nombre d'or)
A-t-on l'existence de $(e_n)_n \in \{1,2\}^\mathbb N$ tel que $ a=\sqrt{e_1+\sqrt{e_2+\sqrt{e_3+...}}} $ ?

Celui me semble difficile, j'ai essayé un truc qui me permet de prouver le constat avec $2t_{i}$ , $t_{i} \in \{-1,1\}$ au lieu de $e_{i}$
Avez-vous une solution ?