Les dattes à Dattier

[jmctiti]

énoncé 31
On pose $ f(x,y)=e^{x+y}-e^{x}-e^{y} $....

Bonjour

On pourrait, plus simplement, faire la différence des deux membres de l'inégalité proposée puis.....

SPOILER:

factoriser

[jmctiti]

Le spoiler était : factoriser.

Bonne journée

[gchacha]

énoncé 12 : Diffie-Helmann par les polynômes
$ p=2^j q_1\times q_2\times ...q_n+1 \text{ un nombre premier, avec les } q_i \text{ premiers entre eux et impair}
\\\text{ P un polynôme de deux variable dans } \mathbb Z_p[X,Y] \text{ avec b un de ses éléments primitifs tel que }
\\\text{pour tout } n,m\in\mathbb N, b^{n\times m} \mod p=P(b^m,b^n)\mod p. \text{ A-t-on } 2^n \leq \text{degré}(P) ? $

Il n'y aurait pas un abus d'indice avec le $ n $ ? $ Z_p[X,Y] $ ici représente-t-il l'anneau des polynômes à deux variables dont les coefficients sont dans $F_p$ ou pas vraiment ?

[Almar]

Énoncé 35:

SPOILER:

On nomme $ u $ la suite en question. On montre sans difficulté que $ \sqrt{n+1 + cos(n+1)} - \sqrt{n + cos(n)} $ tend vers $ 0 $. par continuité du sinus, $ u_{n+1} - u_n $ tend vers $ 0 $. Ainsi, l'adhérence de la suite est un intervalle. Ensuite, comme le terme à l’intérieur du sinus tend à croître, de moins en moins vite, il passera de plus en plus proche de $ \frac{\pi}{2} $ et $ - \frac{\pi}{2} $ modulo $ 2 \pi $, et donc $ 1 $ et $ -1 $ seront valeurs d'adhérences. L'adhérence est donc $ [-1;1] $.

(Désolé c'est pas très rigoureux, ça demanderait beaucoup de temps, l'idée est là néanmoins )

[Zetary]

39:

SPOILER:

On pose y=x^2^2016, x est racine ssi y^2+y+1=0 ssi y=j ou y=j^2
Les 2^2016 racines 2^2016 ièmes de j sont réparties à intervalles réguliers sur le cercle trigo, 1 et i n'en font pas partie donc exactement le quart de ces racines soit 2^2014 se trouve dans le quart de plan qui nous intéresse. Pareil pour j^2 et les racines de j et de j^2 sont distinctes, soit un total recherché de 2^2015

40 :

SPOILER:

L'interpolation de lagrange explicite ne suffit-elle pas à donner une réponse positive puisque le corps est infini ?

[Zetary]

Et là ?

SPOILER:

L'interpolation de Lagrange explicite (le corps etant infini) ne fournit-elle pas directement une réponse positive ?

[Zetary]

SPOILER:

Non: X(X-1)/2 et tous les autres polynômes de Hilbert (les combinaisons de n parmi X)

[Zetary]

Par ailleurs le 16 requiert seulement f continue il me semble

SPOILER:

On prend k un entier strictement plus grand que la norme infinie de f sur la boule unité fermée et on applique Brouwer à 1/k*f, le point fixe obtenu n'est pas 0 car f(0) différent de 0, donc repond à la question.

[Almar]

Énoncé 3

SPOILER:

on montre sans difficultés que la validation 2-adique (que j'appellerai $ \nu_2 $ )du membre de gauche est plus grande que celle de $ n! $ (en utilisant la formule de Legendre par exemple). Avec $ a = \frac{n!}{2^{\nu_{2}(n!)}} $ on va donc essayer de montrer que $ a \ | 2^{n!}-1 $.

Pour cela, on va en fait décomposer $ a $ en facteurs premier. On veut montrer que pour $ p $ un diviseur premier de $ n! $ (donc un nombre premier différent de $ 2 $ et inférieur à $ n $), $ 2^{n!}-1 \equiv 0 \ [p^{\nu_{p}(n!)}] \Leftrightarrow 2^{n!} \equiv 1 \ [p^{\nu_{p}(n!)}] $.
D'après le théorème d'euler, $ 2^{\varphi (p^{\nu_{p}(n!)})} \equiv 1 \ [p^{\nu_{p}(n!)}] $. Or on sait que $ \varphi (p^{\nu_{p}(n!)}) = p^{\nu_{p}(n!) -1}(p -1) $ (pour tout $ p $ premier). Il est évident que $ p^{\nu_{p}(n!) -1}(p -1) \ | \ n! $. On a donc $ 2^{n!} \equiv 1 \ [p^{\nu_{p}(n!)}] $. D'où $ a \ | 2^{n!}-1 $.

On a bien $ (2^{n!}-1)2^n \mod n!=0 $

J'espère que ce n'est pas trop confus.

[Almar]

Pour l'énoncé 35

SPOILER:

On doit pouvoir montrer sans trop de difficulté (avec des $ \epsilon $) que pour toute fonction $ f $ périodique et continue, et pour toute suite $ u_n $
vérifiant $ u_n - u_{n-1} \rightarrow 0 $ et $ u_n \rightarrow \pm \infty $, $ Adh((f(u_n))_n) = Im(f). $
Je suis pas sûr néanmoins que ce soit vraiment ce que tu attends