À la recherche des anneaux fadéliens

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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À la recherche des anneaux fadéliens

Message par Jio15 » 13 juil. 2017 17:18

Bonjour !

Il y a quelques mois (le 23 janvier), nous nous sommes posé.e.s avec des ami.e.s une question juste pour le fun, et il se trouve que nous n'avançons plus depuis trois mois maintenant.

Un anneau A est dit fadélien si pour chaque couple (x,a) avec a≠0 il existe (b,c) tel que x=ab+ca. En $ \LaTeX $ : $ \forall x,\, \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, x=ba+ac $.

Il est dit faiblement fadélien lorsque ceci est vrai dans le cas x=1. En $ \LaTeX $ : $ \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, 1=ba+ac $. Un anneau fadélien est évidemment faiblement fadélien.

Manifestement, un anneau commutatif est fadélien ssi c'est un corps. De plus, toute algèbre à division est fadélienne. La question est : peut-on construire un anneau (faiblement) fadélien qui ne soit pas une algèbre à division ? (nous pensons que c'est le cas mais n'en trouvons pas...)

Il est aisé de montrer que tout anneau faiblement fadélien est une algèbre centrale simple associative sur son centre. Nous avons également réussi à prouver (théorème de Khanfir) qu'un anneau faiblement fadélien est sans diviseur de zéro (la preuve que nous avons est non-triviale, c'est un très bon exercice pour vous autres, mais je peux aussi vous donner la preuve :p).

À un moment, nous avons eu de faux espoirs dus à l'algèbre de Weyl (engendrée par X et Y avec la relation XY-YX=1). C'est (sur un corps de caractéristique nulle) une algèbre centrale simple sans diviseur de zéro qui n'est pas une algèbre à division. Cependant si on écrit aXY + XYb dans la base canonique (X^i Y^j) pour tous (a,b), on voit que le coefficient devant X^0 Y^0 est toujours nul : l'algèbre n'est donc pas faiblement fadélienne. Nous savons donc que nous sommes loin d'avoir suffisamment bien caractérisé les anneaux fadéliens. Nous avons été capables de donner une cns pour la (faible) fadélianité en fonction de l'existence de bases "stables" en un certain sens (ici, l'existence de la base X^i Y^j), mais je soupçonne que ça ne soit pas intéressant.

Nous cherchons depuis près de 6 mois et n'avançons plus. Pour cette raison, je soumets le problème à vous tous, dans l'espoir que l'un de vous ait l'idée du siècle :)

Pour récapituler, voilà les deux problèmes :
  • Peut-on donner un exemple d'anneau faiblement fadélien ($ \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, 1=ba+ac $) qui ne soit pas fadélien ($ \forall x,\, \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, x=ba+ac $) ?
  • Peut-on donner un exemple d'anneau fadélien qui ne soit pas une algèbre à division ?
Merci d'avoir pris le temps de lire ceci, et amusez-vous si vous souhaitez chercher :)
Modifié en dernier par Jio15 le 15 juil. 2017 17:16, modifié 1 fois.
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Re: À la recherche des anneaux fadéliens

Message par Zetary » 14 juil. 2017 16:41

Salut !

C'est quoi une algebre à division ? ^^

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Re: À la recherche des anneaux fadéliens

Message par Jio15 » 15 juil. 2017 15:25

Zetary a écrit :
14 juil. 2017 16:41
Salut !

C'est quoi une algebre à division ? ^^
Un anneau dans lequel tout élément non nul a un inverse (c'est alors une algèbre sur son centre).
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Re: À la recherche des anneaux fadéliens

Message par Jio15 » 15 juil. 2017 18:54

Dattier a écrit :
15 juil. 2017 17:53
$ M_2(\mathbb R) $ l'ensemble des matrices carrées de dimensions 2. :D

Bilan : on dirait que : "ce n'est pas parce que c'est facile à comprendre que c'est facile à trouver"
Marche pas (pas faiblement fadélien). D'ailleurs ça a des diviseurs de zéro.
De toute façon, à cause de cette histoire de diviseurs de zéro, un anneau fadélien non à division est obligatoirement : une algèbre centrale simple de dimension infinie en tant qu'espace vectoriel, sans diviseurs de zéro.

D'ailleurs si des gens veulent s'attaquer à l'exercice "montrer qu'un anneau faiblement fadélien est sans diviseurs de zéro", vos solutions m'intéressent. Une preuve dans le cas fadélien est plus simple à trouver, mais essayez ce cas si vous galérez trop :)
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Re: À la recherche des anneaux fadéliens

Message par Tornado » 05 août 2017 13:58

J'ai pas d'idée sur la question, mais je pense avoir saisi le choix de la dénomination "fadélien" ... ;)
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