Il y a quelques mois (le 23 janvier), nous nous sommes posé.e.s avec des ami.e.s une question juste pour le fun, et il se trouve que nous n'avançons plus depuis trois mois maintenant.
Un anneau A est dit fadélien si pour chaque couple (x,a) avec a≠0 il existe (b,c) tel que x=ab+ca. En $ \LaTeX $ : $ \forall x,\, \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, x=ba+ac $.
Il est dit faiblement fadélien lorsque ceci est vrai dans le cas x=1. En $ \LaTeX $ : $ \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, 1=ba+ac $. Un anneau fadélien est évidemment faiblement fadélien.
Manifestement, un anneau commutatif est fadélien ssi c'est un corps. De plus, toute algèbre à division est fadélienne. La question est : peut-on construire un anneau (faiblement) fadélien qui ne soit pas une algèbre à division ? (nous pensons que c'est le cas mais n'en trouvons pas...)
Il est aisé de montrer que tout anneau faiblement fadélien est une algèbre centrale simple associative sur son centre. Nous avons également réussi à prouver (théorème de Khanfir) qu'un anneau faiblement fadélien est sans diviseur de zéro (la preuve que nous avons est non-triviale, c'est un très bon exercice pour vous autres, mais je peux aussi vous donner la preuve :p).
À un moment, nous avons eu de faux espoirs dus à l'algèbre de Weyl (engendrée par X et Y avec la relation XY-YX=1). C'est (sur un corps de caractéristique nulle) une algèbre centrale simple sans diviseur de zéro qui n'est pas une algèbre à division. Cependant si on écrit aXY + XYb dans la base canonique (X^i Y^j) pour tous (a,b), on voit que le coefficient devant X^0 Y^0 est toujours nul : l'algèbre n'est donc pas faiblement fadélienne. Nous savons donc que nous sommes loin d'avoir suffisamment bien caractérisé les anneaux fadéliens. Nous avons été capables de donner une cns pour la (faible) fadélianité en fonction de l'existence de bases "stables" en un certain sens (ici, l'existence de la base X^i Y^j), mais je soupçonne que ça ne soit pas intéressant.
Nous cherchons depuis près de 6 mois et n'avançons plus. Pour cette raison, je soumets le problème à vous tous, dans l'espoir que l'un de vous ait l'idée du siècle
Pour récapituler, voilà les deux problèmes :
- Peut-on donner un exemple d'anneau faiblement fadélien ($ \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, 1=ba+ac $) qui ne soit pas fadélien ($ \forall x,\, \forall a \neq 0,\, \exists (b,c), \, x=ba+ac $) ?
- Peut-on donner un exemple d'anneau fadélien qui ne soit pas une algèbre à division ?