Bonjour à tous, je viens vers vous car j'ai un petit problème pour résoudre un exercice qui m'a été posé il y a qques temps (je ne sais plus par qui ni ou ni comment d'ailleurs).
Le voici : (désolé je ne maîtrise pas le latex, u(2n) désigne u indice 2n)
Soit u une suite réelle bornée tq : un + (u(2n)/2) tend vers 1
Mq u tend vers 2/3.
Ce que j'ai fait :
La suite u étant bornée, d'après le théorème de BW on peut en extraire une suite (u(phi(n))) qui converge vers un certain l.
Alors u(phi(n)) + u(2*phi(n))/2 tend vers 1
Donc u(2phi(n)) tend vers 2(1-l). Notons cette valeur l'
Mais alors u2phi(n) + u4phi(n)/2 tend vers 1
Mais alors u(4phi(n)) tends vers 2(1-l'). Notons cette l''
En réitérant le processus, on construit la suite (l(n)) tq pour tout n, l(n+1)=2(1-l)
On en déduit que pour tout n, l(n) =(l(0)-2/3)*(-2)^n + 2/3 (suite arithmético-géométrique)
Si l(0) est différent de 2/3, la suite l(n) diverge ce qui est impossible car la suite u est bornée, donc l(0)= 2/3 et la suite (l(n)) est constante égale a 2/3.
La j'ai voulu conclure : Toutes les suites extraites de u tendent vers 2/3 donc u aussi, or je n'en ai "qu'une" infinité, et pas "toutes".
Quelqu'un pourrait-il me débloquer ou m'expliquer une éventuelle erreur ?
Exercice Suites MPSI
Re: Exercice Suites MPSI
En fait il faut plutot dire que si l'une des valeurs d'adhérence est différente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adhérence n'est pas borné ce qui est absurde puisque la suite est bornée. Tu en déduis que la suite est bornée avec une unique valeur d'adhérence : elle converge donc nécessairement vers 2/3
2014-2017 MPSI 2/MP* - Lycée Marcelin Berthelot
2017-???? : ENS Ulm
Colleur MPSI/MP*
2017-???? : ENS Ulm
Colleur MPSI/MP*
Re: Exercice Suites MPSI
Sinon ce n'est pas la peine de construire ta suite l(n). En reprenant ta limite l', on a l' + l'/2 = 1 par unicité de la limite donc l' = 2/3 (c'est donc la seule valeur d'adhérence de la suite). On conclut ensuite comme Newton l'a dit : bornée et une seule valeur d'adhérence (2/3) donc la suite converge vers 2/3.
Édit : j'avais lu trop vite, je ne parlais pas de l' mais de l, i.e la limite de la suite extraite bien entendu.
Édit : j'avais lu trop vite, je ne parlais pas de l' mais de l, i.e la limite de la suite extraite bien entendu.
Dernière modification par Kallio le 11 août 2017 22:44, modifié 1 fois.
MVA
Re: Exercice Suites MPSI
Salut,
Merci bcp de vos réponses !
Juste qques petites questions , comment puis-je prouver que si une valeur d'adherence est differente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adherence n'est pas borné ?
Et je n'ai pas réussi à monter le résultat "bornée et une seule valeur d'adherence donc converge", qui n'est pas dans mon cours, ... des pistes ??
Merci bcp de vos réponses !
Juste qques petites questions , comment puis-je prouver que si une valeur d'adherence est differente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adherence n'est pas borné ?
Et je n'ai pas réussi à monter le résultat "bornée et une seule valeur d'adherence donc converge", qui n'est pas dans mon cours, ... des pistes ??
Re: Exercice Suites MPSI
Si une valeur d'adhérence est différente de 2/3 la suite arithmetico-geometrique que tu mets en évidence est non bornée !
Pour le lemme qui intervient, suppose que la suite ne converge pas vers la seule valeur d'adhérence : alors prend la suite composée des termes à plus de ε de cette valeur d'adhérence : elle est bornée est admet une valeur d'adhérence différente de la première, c'est absurde !
Pour le lemme qui intervient, suppose que la suite ne converge pas vers la seule valeur d'adhérence : alors prend la suite composée des termes à plus de ε de cette valeur d'adhérence : elle est bornée est admet une valeur d'adhérence différente de la première, c'est absurde !
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Colleur MPSI/MP*
2017-???? : ENS Ulm
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Re: Exercice Suites MPSI
Salut Newton,
En fait le pb, c'est que tu me dis "l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné" mais la suite l(n) que j'ai mise en evidence, c'est une suite de valeurs d'adhérence certes, mais j'ai rien qui m'assure que j'ai là toutes les valeurs d'adhérences nn ? Autrement dit, une valeur d'adherence de ma suite u(n) n'est pas nécessairement un terme de l(n)
Et merci, j'ai réussi la petite démo !
En fait le pb, c'est que tu me dis "l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné" mais la suite l(n) que j'ai mise en evidence, c'est une suite de valeurs d'adhérence certes, mais j'ai rien qui m'assure que j'ai là toutes les valeurs d'adhérences nn ? Autrement dit, une valeur d'adherence de ma suite u(n) n'est pas nécessairement un terme de l(n)
Et merci, j'ai réussi la petite démo !
Re: Exercice Suites MPSI
Ramufasa a écrit : ↑11 août 2017 22:41Salut Newton,
En fait le pb, c'est que tu me dis "l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné" mais la suite l(n) que j'ai mise en evidence, c'est une suite de valeurs d'adhérence certes, mais j'ai rien qui m'assure que j'ai là toutes les valeurs d'adhérences nn ? Autrement dit, une valeur d'adherence de ma suite u(n) n'est pas nécessairement un terme de l(n)
Et merci, j'ai réussi la petite démo !
Si tu connais des valeurs d'adhérence qui divergent, on a pas besoin de connaître toute les valeurs d'adhérence pour affirmer que l'ensemble des valeur d'adhérence est non borné.
(Je t'ai peut être mal compris).
Re: Exercice Suites MPSI
Salut Jarjar et merci de ta réponse
En fait, la ce que j'ai montré, c'est qu'il existe une suite de valeurs d'adhérence qui tend vers 2/3(qui est même constante égale à 2/3) donc une infinité de sous suites de u tend vers 2/3.
Mais je comprends pas très bien ton argument: je sais que si une valeur de l (n) est différente de 2/3 alors la suite diverge ce qui est absurde.
Mais c'est pas pour autant que toutes les valeurs d'adhérence sont égales a 2/3 nn? Même si j'ai une valeur adhèrence différente de 2/3 Ça n'implique pas que l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné ou en tout cas, je l'ai pas prouvé.
En fait, la ce que j'ai montré, c'est qu'il existe une suite de valeurs d'adhérence qui tend vers 2/3(qui est même constante égale à 2/3) donc une infinité de sous suites de u tend vers 2/3.
Mais je comprends pas très bien ton argument: je sais que si une valeur de l (n) est différente de 2/3 alors la suite diverge ce qui est absurde.
Mais c'est pas pour autant que toutes les valeurs d'adhérence sont égales a 2/3 nn? Même si j'ai une valeur adhèrence différente de 2/3 Ça n'implique pas que l'ensemble des valeurs d'adhérence est non borné ou en tout cas, je l'ai pas prouvé.
Re: Exercice Suites MPSI
T'as exhibé une suite non bornée de valeurs d'adhérence (dans le cas où il en existe une différente de 2/3), comment l'ensemble des valeurs d'adhérence pourrait alors être borné ?
X2018
Re: Exercice Suites MPSI
Salut Luckyos
En fait ce qui me dérange c'est que tu me dis "t'as exhibé une suite non bornée de valeurs d'adhérence (dans le cas où il en existe une différente de 2/3)" mais ce que je pense avoir prouvé c'est plutôt "si un terme de la suite l (n) est différent de 2/3 alors la suite est non bornée" mais je peux pas affirmer que si une valeur d'adhérence est différente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adhérence est non bornée puisque toutes ne sont pas nécessairement un terme de l (n).
Peut être que j'ai mal compris qqch dans vos arguments ...
En fait ce qui me dérange c'est que tu me dis "t'as exhibé une suite non bornée de valeurs d'adhérence (dans le cas où il en existe une différente de 2/3)" mais ce que je pense avoir prouvé c'est plutôt "si un terme de la suite l (n) est différent de 2/3 alors la suite est non bornée" mais je peux pas affirmer que si une valeur d'adhérence est différente de 2/3 alors l'ensemble des valeurs d'adhérence est non bornée puisque toutes ne sont pas nécessairement un terme de l (n).
Peut être que j'ai mal compris qqch dans vos arguments ...