besoin d'une petite aide pour un exercice.
Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.
petite piste :
On suppose que P(a)=b
On pose Q le polynome défini par Q(x)=P(x)-b
Q(a)= 0
Q(x)=(x-a)R(x) avec R un polynome quelconque
Donc on peut dire que P(x)=(x-a)R(x)+b
et je pense qu'il faut utiliser cette expresion pour construire le polynome
qu'en penses-tu?
On suppose que P(a)=b
On pose Q le polynome défini par Q(x)=P(x)-b
Q(a)= 0
Q(x)=(x-a)R(x) avec R un polynome quelconque
Donc on peut dire que P(x)=(x-a)R(x)+b
et je pense qu'il faut utiliser cette expresion pour construire le polynome
qu'en penses-tu?
Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.
Oui c'est ça mais c'est ce que je te disais de faire au début hein x)
Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.
oui ou sinon on fait un gros système de 4 lignes en supposant avec un polynome de degré 3 et on retrouve la solution de Zak
https://matrixcalc.org/fr/slu.html#solv ... 2%7D%7D%29
Mais ça reste assez lourd alors que la factorisation permet d'éviter ces gros calculs
(regarde à la fin du calcul détaillé)
https://matrixcalc.org/fr/slu.html#solv ... 2%7D%7D%29
Mais ça reste assez lourd alors que la factorisation permet d'éviter ces gros calculs
(regarde à la fin du calcul détaillé)
Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.
Bonsoir,
Pour démontrer l'unicité de la solution, un raisonnement classique repose sur le lemme suivant :
Un polynôme à coefficients réels de degré positif admet au plus n racines (comptées avec leur ordre de multiplicité).
Rappelons ici que le polynôme nul est de degré moins l'infini.
Ce lemme repose sur la division euclidienne de polynômes.
Ainsi si P et Q sont deux polynômes de degrés 3 et x1,... x4 quatre réels distincts tels que P(x1)=Q(x1) ... P(x4)=Q(x4) alors P-Q est un polynôme de degré au plus 3 admettant quatre racines distinctes. Donc de deux choses l'une : soit le degré de P-Q est supérieur à 4 (contradiction), soit il est négatif. Or un polynôme de degré négatif est nul. Donc P=Q.
Alternativement, vous pouvez en effet démontrer que le gros système quatre quatre est inversible. Mais c'est assez calculatoire et à mon avis peu dans l'esprit de l'exercice.
Pour démontrer l'unicité de la solution, un raisonnement classique repose sur le lemme suivant :
Un polynôme à coefficients réels de degré positif admet au plus n racines (comptées avec leur ordre de multiplicité).
Rappelons ici que le polynôme nul est de degré moins l'infini.
Ce lemme repose sur la division euclidienne de polynômes.
Ainsi si P et Q sont deux polynômes de degrés 3 et x1,... x4 quatre réels distincts tels que P(x1)=Q(x1) ... P(x4)=Q(x4) alors P-Q est un polynôme de degré au plus 3 admettant quatre racines distinctes. Donc de deux choses l'une : soit le degré de P-Q est supérieur à 4 (contradiction), soit il est négatif. Or un polynôme de degré négatif est nul. Donc P=Q.
Alternativement, vous pouvez en effet démontrer que le gros système quatre quatre est inversible. Mais c'est assez calculatoire et à mon avis peu dans l'esprit de l'exercice.
Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.
Ah oui effectivement ça fonctionne, et dire que j'avais écrit sur ma feuille "P(X)=/=Q(X)" puis après P(1)=2 et Q(1)=2 xD
Merci pour cet éclaircissement.
Merci pour cet éclaircissement.
Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.
Attention, on peut avoir P différent de Q mais P(1)=Q(1).