besoin d'une petite aide pour un exercice.

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 16 août 2017 20:29

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.

Message par LepetitMathématicien » 20 août 2017 23:58

petite piste :
On suppose que P(a)=b
On pose Q le polynome défini par Q(x)=P(x)-b
Q(a)= 0
Q(x)=(x-a)R(x) avec R un polynome quelconque
Donc on peut dire que P(x)=(x-a)R(x)+b
et je pense qu'il faut utiliser cette expresion pour construire le polynome
qu'en penses-tu?

Messages : 0

Inscription : 19 juil. 2017 00:37

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.

Message par Zak_ » 21 août 2017 07:16

Oui c'est ça mais c'est ce que je te disais de faire au début hein x)

Messages : 0

Inscription : 16 août 2017 20:29

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.

Message par LepetitMathématicien » 21 août 2017 11:30

Zak_ a écrit :
21 août 2017 07:16
Oui c'est ça mais c'est ce que je te disais de faire au début hein x)
désolé j'ai pas bien capté ta réponse au début x) mais merci pour tout !

Messages : 0

Inscription : 03 juin 2015 14:13

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.

Message par ONeill » 21 août 2017 18:41

oui ou sinon on fait un gros système de 4 lignes en supposant avec un polynome de degré 3 et on retrouve la solution de Zak

https://matrixcalc.org/fr/slu.html#solv ... 2%7D%7D%29

Mais ça reste assez lourd alors que la factorisation permet d'éviter ces gros calculs

(regarde à la fin du calcul détaillé)

Messages : 0

Inscription : 23 déc. 2015 17:40

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.

Message par Païkan » 21 août 2017 23:15

Bonsoir,

Pour démontrer l'unicité de la solution, un raisonnement classique repose sur le lemme suivant :

Un polynôme à coefficients réels de degré positif admet au plus n racines (comptées avec leur ordre de multiplicité).

Rappelons ici que le polynôme nul est de degré moins l'infini.

Ce lemme repose sur la division euclidienne de polynômes.

Ainsi si P et Q sont deux polynômes de degrés 3 et x1,... x4 quatre réels distincts tels que P(x1)=Q(x1) ... P(x4)=Q(x4) alors P-Q est un polynôme de degré au plus 3 admettant quatre racines distinctes. Donc de deux choses l'une : soit le degré de P-Q est supérieur à 4 (contradiction), soit il est négatif. Or un polynôme de degré négatif est nul. Donc P=Q.

Alternativement, vous pouvez en effet démontrer que le gros système quatre quatre est inversible. Mais c'est assez calculatoire et à mon avis peu dans l'esprit de l'exercice.

Messages : 0

Inscription : 19 juil. 2017 00:37

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.

Message par Zak_ » 22 août 2017 13:34

Ah oui effectivement ça fonctionne, et dire que j'avais écrit sur ma feuille "P(X)=/=Q(X)" puis après P(1)=2 et Q(1)=2 xD
Merci pour cet éclaircissement.

Messages : 0

Inscription : 23 déc. 2015 17:40

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: besoin d'une petite aide pour un exercice.

Message par Païkan » 22 août 2017 18:31

Attention, on peut avoir P différent de Q mais P(1)=Q(1).

Répondre