Exercice sur une fonction définie par une intégrale

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Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par duissebosasa » 01 sept. 2017 16:36

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour cet exercice svp :

Soit F définie pour tout x>0, telle que
F(x)=* integrale de x à (x+sqrt(x)) de : 1/((t^(3/2))(sqrt(1+t^2))) *

Déterminer (à l'aide de la formule de la moyenne par exemple) la limite de F lorsque x tend vers 0

Merci bcp !

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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par U46406 » 01 sept. 2017 17:45

Ton message sera plus facile à lire avec les balises LaTeX.

par exemple : $ \int $

il faut utiliser une balise tex sur ce forum
quant au langage TeX, tu trouveras des exemples là :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX
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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par Zetary » 01 sept. 2017 17:47

Salut,

Je ne vois pas trop de quelle formule il s'agit, mais je te propose une méthode :
Pour x assez proche de 0 tu peux encadrer 1/sqrt(1+t²) pour tout t entre x et x+sqrt(x) entre 1-epsilon et 1+epsilon avec epsilon arbitrairement petit, et tu es donc ramené à trouver la limite éventuelle de la même intégrale avec juste 1/t^(3/2), qui se calcule explicitement

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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par Poliakoff » 01 sept. 2017 17:49

$ \displaystyle{\int_{x}^{x+\sqrt{x}}}\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}.\sqrt{1+t^{2}}}dt $
C'est bien ça?
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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par duissebosasa » 01 sept. 2017 17:55

Poliakoff a écrit :
01 sept. 2017 17:49
$ \displaystyle{\int_{x}^{x+\sqrt{x}}}\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}.\sqrt{1+t^{2}}}dt $
C'est bien ça?
Oui c'est ça !

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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par duissebosasa » 01 sept. 2017 17:55

U46406 a écrit :
01 sept. 2017 17:45
Ton message sera plus facile à lire avec les balises LaTeX.

par exemple : $ \int $

il faut utiliser une balise tex sur ce forum
quant au langage TeX, tu trouveras des exemples là :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX
Ok merci !

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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par duissebosasa » 01 sept. 2017 18:03

Zetary a écrit :
01 sept. 2017 17:47
Salut,

Je ne vois pas trop de quelle formule il s'agit, mais je te propose une méthode :
Pour x assez proche de 0 tu peux encadrer 1/sqrt(1+t²) pour tout t entre x et x+sqrt(x) entre 1-epsilon et 1+epsilon avec epsilon arbitrairement petit, et tu es donc ramené à trouver la limite éventuelle de la même intégrale avec juste 1/t^(3/2), qui se calcule explicitement
Je ne comprends pas très bien comment, après avoir encadré t (par des bornes qui dépendent de x c'est ça ?) on peut passer aux intégrales sachant que les bornes dépendent également de x ? et surtout passer à la limite sur des bornes... Et enfin comment faire pour prendre en compte 1/t^(3/2) séparement ?

Merci

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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par Zetary » 01 sept. 2017 18:26

On prend epsilon >0. Lorsque x est assez proche de 0, les deux bornes le sont, donc 1/sqrt(1+t^2) est proche de 1: on peut l'encadrer entre 1-epsilon et 1+epsilon pour tout t dans l'intervalle d'integration, donc F(x) est encadrée entre (1-epsilon) integrale de 1/t^(3/2) et (1+epsilon) integrale de 1/t^(3/2) (entre les mêmes bornes), ces intégrales se calculent explicitement, et on peut revenir a la definition de limite pour F en 0+ en choissant bien epsilon au depart

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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par duissebosasa » 01 sept. 2017 18:48

Zetary a écrit :
01 sept. 2017 18:26
On prend epsilon >0. Lorsque x est assez proche de 0, les deux bornes le sont, donc 1/sqrt(1+t^2) est proche de 1: on peut l'encadrer entre 1-epsilon et 1+epsilon pour tout t dans l'intervalle d'integration, donc F(x) est encadrée entre (1-epsilon) integrale de 1/t^(3/2) et (1+epsilon) integrale de 1/t^(3/2) (entre les mêmes bornes), ces intégrales se calculent explicitement, et on peut revenir a la definition de limite pour F en 0+ en choissant bien epsilon au depart
D'accord merci beaucoup !

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Re: Exercice sur une fonction définie par une intégrale

Message par guedojulie » 01 sept. 2017 19:03

Pourquoi ne pas utiliser la formule de la moyenne ici ? on sort le g(c) = 1/sqrt(1+c^2) avec c entre x et x+sqrt(x) et on calcule l'intégrale de 1/t^(3/2).
Du coup si x tend vers 0 alors c aussi car son intervalle se réduit donc g(c) tend vers 1 , finalement l'intégrale tend vers + l'infini ( équivalent a 2/sqrt(x)

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