Convergence en probabilité et presque sure

[Incognito11]

Bonjour à tous,

J'ai du mal à comprendre intuitivement la différence entre ces deux modes de convergence. J'ai déjà rencontré des exemples pour lesquels on a convergence en proba mais pas presque surement, cependant je ne comprends pas pourquoi cela est possible intuitivement. Pour être un peu plus clair, voila mon raisonnement:

Supposons qu'il n'y ait pas convergence presque sur, cela signifie qu'il existe un sous ensemble (appelons le A) de notre gros ensemble $ \Omega $, de mesure (notons là P) non nulle, et pour lequel la suite $ X_n (\omega) $ ne converge pas. A partir de là, je ne vois pas comment on peut avoir $ P(\mid X_n - X \mid < \epsilon) $ aussi petit que l'on veut car sur l'ensemble A, cela ne sera pas vérifié (et l'ensemble A est de mesure non nulle par hypothèse).

Merci d'avance

[JeanN]

Pourquoi ne serait-ce pas vérifié sur A ?

[Incognito11]

En voulant répondre en explicitant proprement, il me semble que j'ai compris: si on est dans A on a: $ \forall \omega \in A, \exists \epsilon > 0, \forall N , \exists n > N \mid X_n(\omega) - X(\omega) \mid > \epsilon $. Cela dit juste qu'il y aura certains $ n $ aussi grand qu'on veut tels que $ \mid X_n(\omega) - X(\omega) \mid > \epsilon $ mais cela ne dit pas que cela sera toujours vrai à partir d'un certain rang (sinon pour le coup on ne pourrait pas avoir la convergence en proba il me semble)

[Siméon]

Je ne sais si ça t'aidera mais il est à mon avis important de comprendre que la convergence en probabilité ne dépend que de la suite de lois ${(P_{X_n - X})}_{n\in \mathbb N}$. Elle ne tient pas du tout compte des « dépendances » entre entre les variables (i.e. des lois jointes), contrairement à la convergence presque sûre qui concerne la loi de toute la suite de variables.

Bref : ces modes de convergence ne concernent en fait pas les mêmes objets, ce qui fait une très grosse différence entre les deux notions.

[Incognito11]

Salut, merci pour ta réponse, je ne l'avais jamais vu comme ca !

[matmeca_mcf1]

Dans le programme de MP, je lis "les diverses notions de convergence des suites de variables aléatoires (presque sure, en probabilité, en loi) sont hors
programme.". Je ne trouve de convergence en loi que dans le programme d'ECS (pas regardé celui d'ECE ou celui d'ECT) mais pas de convergence presque sûre. Il y a un lien entre la convergence en probabilités et la convergence presque sûre mais il semble largement hors programme. Tel que je l'ai compris, utiliser un résultat hors-programme aux concours n'est pas du tout recommandé, et peut causer un exercice comme compté faux même si l'outil ou le résultat hors-programme sont utilisés correctement. Aussi, je te le donne en spoiler (je ne sais pas très bien quel est la politique de ce site sur l'utilisation d'outils hors-programme). Mainten

SPOILER:

$ (X_n) $ converge en proba vers $ X $ implique qu'il existe une sous-suite de $ (X_n) $ qui converge presque sûrement vers $ X $.
C'est la conséquence d'un lemme hors-programme appelée lemme de Borel-Cantelli.

$ (X_n) $ converge presque sûrement vers $ X $ implique que $ (X_n) $ converge en probabilité vers $ X $.
C'est une conséquence d'un théorème de convergence dominée.

$ X_n $ converge en proba vers $ X $ si et seulement si de toute sous-suite de $ (X_n) $, on peut extraire une sous-sous-suite qui converge presque sûrement vers $ X $.