Question sur les matrices symétriques

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 72

Enregistré le : 18 janv. 2016 20:16

Classe : MPSI

Question sur les matrices symétriques

Message par eusaebus » 28 févr. 2018 12:10

Bonjour,

Dans la correction d'un exercice de Cassini (Algèbre 3 - 2.21 Théorème de Perron-Frobenius pour matrices symétriques), il est écrit que clairement si A est une matrice symétrique a coefficients strictement positifs , $ \lambda $ une valeur propre, X un vecteur propre unitaire associé, en notant |X| la matrice des valeurs absolues des coefficients de X, si $ ^{t}|X|A|X| = \lambda $ alors |X| est un vecteur propre associé à $ \lambda $. Quelqu'un saurait-il m'expliquer pourquoi ? On sait en outre que le $ \lambda $ en question est le rayon spectral de A, si cela peut jouer un rôle.

Il est clair que si |X| est vecteur propre alors $ ^{t}|X|A|X| = \lambda ^{t}XX = \lambda ||X|| = \lambda $ mais j'ai beau chercher je ne vois pas en quoi la réciproque serait vrai.

Merci d'avance !
Modifié en dernier par eusaebus le 28 févr. 2018 14:04, modifié 1 fois.
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*

“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel

Messages : 840

Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par oty20 » 28 févr. 2018 13:14

je n'ai pas vu la référence , mais il me semble que si tu multiplies par $^{t}|X|$ a gauche $ (^{t}|X||X|)^{t}A|X|=s^{t}|X| $ or $ (^{t}|X||X|)=N(|X|)=N(X)=1 $..... il y a un problème dans ton écriture $ M_{n,1} $ $ \times $ $ M_{n,n} $ la multiplication n'est pas compatible , si tu rectifies l'égalité , cela devrait marcher
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 72

Enregistré le : 18 janv. 2016 20:16

Classe : MPSI

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par eusaebus » 28 févr. 2018 14:03

C'est juste un soucis de Latex je ne savais pas comment mettre le 't' à gauche, mais il s'agit bien de $ ^{t}|X|A|X| $ donc cette méthode ne fonctionne pas.
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*

“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel

Messages : 840

Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par oty20 » 28 févr. 2018 14:17

Dans ce cas avec la rectification, $ ^{t}|X|A|X|=s^{t}|X||X| $ ce qui donne $ ^{t}|X| (A|X|-s|X|)=0 $ .....
Modifié en dernier par oty20 le 28 févr. 2018 15:12, modifié 1 fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 72

Enregistré le : 18 janv. 2016 20:16

Classe : MPSI

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par eusaebus » 28 févr. 2018 15:00

Je ne te suis pas, si par membre de droite tu veux parler de $ (A|X|-s|X|) $ il s'agit d'une matrice colonne, il n'est pas question d'inversibilité ?
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*

“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel

Messages : 840

Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par oty20 » 28 févr. 2018 15:19

par inversible j'insinuer en terme de norme , sa s'appelle le transconjugué si je dis pas de bétise je n'ai pas encore fait le cours de l'euclidien désolé je m'explique , par soucie d’écriture $ B=|X| $ , on peut écrire , l'égalité précédente
$ ^{t}B ^{t}(^{t}BA-s^{t}B)=0 $ si on multiplie a droite par $ ^{t}B^{t}(^{t}BA-s^{t}B)(^{t}BA-s^{t}B)B=N((^{t}BA-s^{t}B))=0 $ .... j’espère que c'est bon maintenant
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 72

Enregistré le : 18 janv. 2016 20:16

Classe : MPSI

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par eusaebus » 28 févr. 2018 15:36

Si on note $ Z=(^{t}BA-s^{t}B)B $ alors $ ^{t}B^{t}(^{t}BA-s^{t}B)(^{t}BA-s^{t}B)B =^{t}ZZ = ||Z|| = 0 $ donc $ Z=0 $ i.e. $ (^{t}BA-s^{t}B)B =
0 $ (et non, $ ^{t}BA-s^{t}B=0 $ comme tu l'as écrit) ce qui ne nous avance pas beaucoup, si je dis pas de bêtises.
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*

“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel

Messages : 840

Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par oty20 » 28 févr. 2018 15:45

Bah non , voici les détails l’écriture matriciel en latex est assez lourde , on pose $ Z=^{t}BA-s^{t}B $ on a
$ ^{t}B^{t}ZZB=N(Z)^{t}BB=N(Z)N(B)=N(Z)=0 $ , la norme de $ Z $ sort puisque c'est un scalaire .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 72

Enregistré le : 18 janv. 2016 20:16

Classe : MPSI

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par eusaebus » 28 févr. 2018 16:10

Dans ce cas ca semble fonctionner, mais je trouve ça très bizarre car du coup, en notant pour X unitaire $ \lambda = ^{t}XAX $ avec la même démonstration on aboutit à $ AX=\lambda X $ donc lambda est valeur propre et X vecteur propre associé, donc tout vecteur unitaire serait vecteur propre, ce qui n'est pas.
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*

“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel

Messages : 840

Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par oty20 » 28 févr. 2018 16:27

ce qui n'est pas quoi ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Répondre