Question sur les matrices symétriques

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 964

Enregistré le : 16 nov. 2014 20:40

Classe : MP

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par BijouRe » 28 févr. 2018 16:27

eusaebus a écrit :
28 févr. 2018 16:10
Dans ce cas ca semble fonctionner, mais je trouve ça très bizarre car du coup, en notant pour X unitaire $ \lambda = ^{t}XAX $ avec la même démonstration on aboutit à $ AX=\lambda X $ donc lambda est valeur propre et X vecteur propre associé, donc tout vecteur serait vecteur propre, ce qui n'est pas.
Tout vecteur unitaire vérifiant la relation

(D'ailleurs pourquoi l'exercice demande de travailler avec les matrices colonnes de valeurs absolues ?)
2015-2016 : MPSI Janson de Sailly
2016-2017 : MP* Janson de Sailly

Messages : 72

Enregistré le : 18 janv. 2016 20:16

Classe : MPSI

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par eusaebus » 28 févr. 2018 16:43

oty20 a écrit :
28 févr. 2018 16:27
ce qui n'est pas quoi ?
Ce qui n'est pas vrai.

J'ai trouvé (enfin un collègue a moi a trouvé) le problème dans ta démonstration:

$ ^{t}B^{t}(^{t}BA-s^{t}B)(^{t}BA-s^{t}B)B=0 $ donc en notant $ Z=(^{t}BA-s^{t}B) $ certes, $ ^{t}B^{t}ZZB=0 $. Mais Z est une matrice ligne, donc $ ^{t}ZZ $ est une matrice carré de taille n, pas un scalaire et pas non plus égal a $ ||Z|| $.
(D'ailleurs pourquoi l'exercice demande de travailler avec les matrices colonnes de valeurs absolues ?)
L’exercice ne le demande pas explicitement mais c'est utilisé dans la correction. Voici l'exercice
Soit A une matrice symétrique a coefficients strictements positifs, montrer que le rayon spectral $ \rho (A) $ est une valeur propre et que son sous-espace propre est une droite engendré par une matrice colonne à coefficients strictement positifs
La solution n'est vraiment pas si simple, et utilise le résultat énoncé dans mon premier message comme si c'était un résultat trivial...
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*

“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel

Messages : 813

Enregistré le : 19 avr. 2015 00:08

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par darklol » 28 févr. 2018 16:52

$ \,^t|X|A|X| = \lambda = \,^tXAX $ soit $ \sum_{i,j} a_{i,j}|x_i||x_j| = \sum_{i,j} a_{i,j} x_i x_j $ donc $ \sum_{i,j} a_{i,j}(|x_i||x_j| - x_i x_j) = 0 $, je te laisse conclure en utilisant la stricte positivité des $ a_{i,j} $.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche

Messages : 72

Enregistré le : 18 janv. 2016 20:16

Classe : MPSI

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par eusaebus » 28 févr. 2018 16:59

Merci beaucoup ! Cependant j'ai quand même du mal a comprendre pourquoi la correction ne prend pas la peine de le justifier alors que d'autres résultats sans doute plus immédiats sont démontré en détail. Bizarres ces Cassini parfois.
2016/2017 Lycée Saint-Louis MPSI
2017/2018 Lycée Saint-Louis MP*

“To understand the actual world as it is, not as we should wish it to be, is the beginning of wisdom” Bertrand Russel

Messages : 840

Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par oty20 » 28 févr. 2018 17:04

Ah oui effectivement ! j'ai pas fait attention désolé
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Messages : 813

Enregistré le : 19 avr. 2015 00:08

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par darklol » 28 févr. 2018 17:04

eusaebus a écrit :
28 févr. 2018 16:59
Merci beaucoup ! Cependant j'ai quand même du mal a comprendre pourquoi la correction ne prend pas la peine de le justifier alors que d'autres résultats sans doute plus immédiats sont démontré en détail. Bizarres ces Cassini parfois.
En effet, après ils sont trois à avoir écrit les livres, les faits qui peuvent paraître triviaux à certains ne le sont pas forcément pour d’autres.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche

Messages : 840

Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48

Re: Question sur les matrices symétriques

Message par oty20 » 28 févr. 2018 17:14

c'est intéressant, on dirait que ce cours d'euclidien introduit comme une sorte de notion d'ordre : ce qu'a fait darkol , c'est similaire a dire $ ^{t}|X|A|X| \geq ^{t}XAX $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Répondre