Question sur les matrices symétriques

[BijouRe]

Dans ce cas ca semble fonctionner, mais je trouve ça très bizarre car du coup, en notant pour X unitaire $ \lambda = ^{t}XAX $ avec la même démonstration on aboutit à $ AX=\lambda X $ donc lambda est valeur propre et X vecteur propre associé, donc tout vecteur serait vecteur propre, ce qui n'est pas.

Tout vecteur unitaire vérifiant la relation

(D'ailleurs pourquoi l'exercice demande de travailler avec les matrices colonnes de valeurs absolues ?)

[eusaebus]

ce qui n'est pas quoi ?

Ce qui n'est pas vrai.

J'ai trouvé (enfin un collègue a moi a trouvé) le problème dans ta démonstration:

$ ^{t}B^{t}(^{t}BA-s^{t}B)(^{t}BA-s^{t}B)B=0 $ donc en notant $ Z=(^{t}BA-s^{t}B) $ certes, $ ^{t}B^{t}ZZB=0 $. Mais Z est une matrice ligne, donc $ ^{t}ZZ $ est une matrice carré de taille n, pas un scalaire et pas non plus égal a $ ||Z|| $.

(D'ailleurs pourquoi l'exercice demande de travailler avec les matrices colonnes de valeurs absolues ?)

L’exercice ne le demande pas explicitement mais c'est utilisé dans la correction. Voici l'exercice

Soit A une matrice symétrique a coefficients strictements positifs, montrer que le rayon spectral $ \rho (A) $ est une valeur propre et que son sous-espace propre est une droite engendré par une matrice colonne à coefficients strictement positifs

La solution n'est vraiment pas si simple, et utilise le résultat énoncé dans mon premier message comme si c'était un résultat trivial...

[darklol]

$ \,^t|X|A|X| = \lambda = \,^tXAX $ soit $ \sum_{i,j} a_{i,j}|x_i||x_j| = \sum_{i,j} a_{i,j} x_i x_j $ donc $ \sum_{i,j} a_{i,j}(|x_i||x_j| - x_i x_j) = 0 $, je te laisse conclure en utilisant la stricte positivité des $ a_{i,j} $.

[eusaebus]

Merci beaucoup ! Cependant j'ai quand même du mal a comprendre pourquoi la correction ne prend pas la peine de le justifier alors que d'autres résultats sans doute plus immédiats sont démontré en détail. Bizarres ces Cassini parfois.

[oty20]

Ah oui effectivement ! j'ai pas fait attention désolé

[darklol]

Merci beaucoup ! Cependant j'ai quand même du mal a comprendre pourquoi la correction ne prend pas la peine de le justifier alors que d'autres résultats sans doute plus immédiats sont démontré en détail. Bizarres ces Cassini parfois.

En effet, après ils sont trois à avoir écrit les livres, les faits qui peuvent paraître triviaux à certains ne le sont pas forcément pour d’autres.

[oty20]

c'est intéressant, on dirait que ce cours d'euclidien introduit comme une sorte de notion d'ordre : ce qu'a fait darkol , c'est similaire a dire $ ^{t}|X|A|X| \geq ^{t}XAX $