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Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 17:30
par gonfricks
Bonjour ,
Est ce possible de connaitre le nombre minimal de modifications a faire , pour transformer une matrice en une matrice inversible ?
je n'arrive pas a trouver de réponse . Merci pour votre aide .

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 18:17
par BobbyJoe
Tu veux dire d'opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes, on choisit l'un ou l'autre une bonne fois pour toute)...
Mais si ta matrice initiale n'est pas inversible, il y a peu de chances qu tu y arrives....

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 18:27
par gonfricks
Bonsoir , modification des coefficients de la matrice .

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 18:39
par eusaebus
La réponse est il suffit de modifier un seul coefficient il me semble, mais je ne sais plus exactement comment s'y prendre

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 18:42
par matmeca_mcf1
Si la matrice de départ est carré de taille n, c'est possible. Pour une matrice de rang p, choisis p lignes et p colonnes qui forme une sous matrice carré de taille p et de rang p. Regarde la sous-matrice complémentaire qui est carré de taille n-p. Il suffit de modifier cette matrice en n-p endroit (une seule modif par ligne, une seule par colonne). Donc, la réponse est n-p.

EDIT: j'ai oublié de préciser le plus important, la sous-matrice de taille p doit être inversible.

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 18:43
par matmeca_mcf1
Une seule modif n'est pas possible. Pars de la matrice nulle de taille 2. Tu auras au moins besoin de 2 modifs.

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 18:48
par gonfricks
s'il vous plait qu'entendez vous par la sous-matrice complémentaire

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 19:34
par matmeca_mcf1
Ce n'est pas une terminologie officielle. Tu choisis p lignes et p colonnes pour obtenir une sous-matrice de taille p. Maitenant prends la matrice carré obtenue en choisissant les n-p autres lignes et les n-p autres colonnes. C'est ce que j'ai appelé matrice complémentaire.

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 20:02
par oty20
l’énoncé n'est pas formel , si je me rappelle bien cette question était paru dans les énoncés d'oraux rms , de l'année dernière c’était une question non étoilé d'ens paris , cela m'avait pris plusieurs jours pour la résoudre , je m’étais promis qu'en spé je me confronterai jamais a un oral d'ens parce que cela prend trop de temps a cause de celui la :shock: . Enfin bref , effectivement c'est bien $ n-r $ modifications,apparament il y a une notion de ''tensor rank'' qui facilite la question suggéré par un membre ,mais cela me semble hors du cadre de prépa , si tu comprends un peu l'anglais voici le lien ou j'avais posté ma solution : https://artofproblemsolving.com/communi ... 34p7973411 mon anglais est très moyen je pense que cela devrait être compréhensible
Dans le cas contraire j'essayerai de traduire pour toi plus-tard .

Re: Modifier le rang d'une matrice

Posté : 28 févr. 2018 20:21
par matmeca_mcf1
Je ne conseille à personne d'aller à des oraux d'ENS (surtout d'Ulm) sans entraînement aux oraux d'ENS. Je l'ai fait en 1999. Ce n'est pas une expérience amusante.