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Tout* R-ev

Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?

Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.

darklol a écrit : ↑

16 avr. 2018 17:15

siro a écrit : ↑

16 avr. 2018 17:01

Tout R-ev a la puissance du continu en fait.

Le $ \mathbb{R} $-ev $ \{0\} $ aussi du coup?

Bien vu.

Sylve a écrit : ↑

16 avr. 2018 17:38

Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.

Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $. On passe par la compacité (ou la complétude qui est hors programme) car ce sont des propriétés intrinsèques. $ B\cap A $ est compact et "non compact dans E" ou "compact dans A". Alors qu'un ensemble est fermé dans un autre ensemble, la propriété n'est pas "intrinsèque" (terminologie personnelle non officielle). La notion de fermé dépend de l'espace normé dans lequel on se place. Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.

J'ai du mal à vous suivre. Je ne vois pas pourquoi vous dited que la compacité est plus intrinsèque que le fait d'être fermé, puisque comme vous l'avez dit ces deux propriétés dépendent de l'espace sur lequel on se place.

Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.

@Sylve Je pense que ces subtilités topologiques peuvent justement être un peu trop subtiles pour un élève de prépa. Commence par méditer cette phrase de matmeca_mcf1:

Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $.

siro a écrit : ↑

16 avr. 2018 17:01

mechiche a écrit : ↑

16 avr. 2018 16:08

Merci à vous deux pour vos réponses, je comprends maintenant.

Dernière petite question ? $ \mathbb{Q} $ est bien un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel de dimension $ 1 $ non ?

Bah non, si c'était un sev de R, alors pour tout u \in R et tout X \Q, u.X \in Q. Or pour u = \sqrt(2) et X = 1 \in Q, ça ne fonctionne pas.

Tout R-ev a la puissance du continu en fait. (sauf {0})

Effectivement pardon, c'est seulement un $ \mathbb{Q} $-espace vectoriel.
Je voulais dire que c'était étrange alors que le théorème ne s'applique pas à $ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert, mais comme l'a signalé matmeca

matmeca_mcf1 a écrit : ↑

16 avr. 2018 17:50

Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.

C'est l'idée de fermé relatif ?

mechiche a écrit : ↑

16 avr. 2018 18:15

$ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert

$ \mathbb{Q} $ n’est pas un ouvert de $ \mathbb{R} $.