Sujet X-ENS PSI Mathématiques 2018

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Répondre

Messages : 373

Enregistré le : 29 nov. 2015 19:32

Classe : Terminale S

Sujet X-ENS PSI Mathématiques 2018

Message par Dratui » 18 avr. 2018 19:25

Je suppose que ça peut intéresser quelqu'un (et oui, il n'y a pas que des MP par ici :roll: )

https://ibb.co/jE9Mu7
https://ibb.co/cQEh1n
https://ibb.co/kCaBu7
https://ibb.co/h1z4E7
https://ibb.co/ju6egn
https://ibb.co/fN8Wu7

Sujet quelque peu compliqué :lol:

Edit : en fait c'est pas dans l'ordre... Je vais devoir revoir ça :mrgreen:
2016/2018 - PCSI/PSI* - Saint-Louis
2018/201X - CentraleSupélec sans rien branler
De plus en plus perdu sur son avenir

Messages : 7

Enregistré le : 12 avr. 2018 12:28

Classe : PSI*

Re: Sujet X-ENS PSI Mathématiques 2018

Message par Oreapus » 18 avr. 2018 21:47

Merci beaucoup! Je le cherchais partout :D
2016-2017 : PCSI paresseuse
2017-2018 : PSI* engourdie
2018-2019 : 5/2* destinée

Messages : 1799

Enregistré le : 13 févr. 2018 09:22

Re: Sujet X-ENS PSI Mathématiques 2018

Message par matmeca_mcf1 » 27 avr. 2018 22:36

Voici un commentaire culture sur ce sujet: il manque la page de garde et la page 2 mais je l'ai trouvé ailleurs sur le net. On considère l'équation
$ -u''+c(x)u=f $ où $ c(x) $ est positif. Cela ressemble à l'équation de Helmholtz qui est utilisée en acoustique mais dans l'équation de Helmoltz on a $ c(x) $ négatif. Certains appellent l'équation avec $ c $ positif le faux Helmholtz. Le "faux Helmholtz" est bien plus simple à analyser et à discrétiser, ce pourquoi elle est probablement étudiée dans ce sujet.

PARTIE I:
Comme vous pouvez le remarquez (sur la page 2), il s'agit d'un problème aux limite avec un condition de bord en $ 0 $ et une condition de bord en $ 1 $ et non d'un problème de Cauchy. Dans la partie I, on démontre l'existence d'une solution en passant par des problèmes de Cauchy. C'est un peu le principe du shooting. Ici $ \lambda $ sert de paramètre de tir. La méthode de shooting pour le problème aux limites
$$
y''=f(t,u(t),u'(t))\\
y(0)=y_g\\
y'(1)=y_d
$$
est de résoudre
$$
y''=f(t,u(t),u'(t))\\
y(0)=y_d\\
y'(0)=\lambda
$$
et de chercher $ \lambda $ tel que $ y(1) $ soit égal à $ y_d $. Cela se fait numériquement et on peut employez par exemple une méthode de dichotomie ou une méthode de Newton. Comme dans le sujet on a un problème linéaire, le shooting peut être fait en calculant $ \lambda $ à partir de $ w_1(1) $ et $ w_2(1) $, on le fait explicitement et on ne parle même pas de shooting. Il est à noter qu'un problème aux limites en 1D n'a pas forcément de solutions, il suffit de prendre par exemple comme EDO sur $ [0,\pi] $, $ u''+u=0 $ et comme conditions aux limites $ u(0)\neq u(\pi) $. C'est pourquoi il est impératif de répondre à la question 3. Les conditions aux limite du style $ u(0)=\alpha $ et $ u(1)=\beta $ sont appelées conditions de Dirichlet.

Une autre remarque. En général, les méthodes de shooting sont faites pour calculer une solution 1D. D'ordinaire, un mathématicien utiliserait dans ce cas présent un théorème appelé Lax-Milgram pour montrer l'existence d'une solution mais cela demande des connaissances en analyse fonctionnelle que les élèves de prépa n'ont pas.

La question 5 demande d'établir un principe du maximum en 1D, en fait ici plutôt un principe du minimum puisque on travaille sur $ -u'' $ et non $ u'' $. Le principe du maximum dit qu'une fonction $ v $ continue sur l'adhérence d'un ouvert bornée $ \Omega\subset\mathbb{R}^d $ qui satisfait $ \Delta u\geq 0 $ atteint son maximum sur la frontière de $ \Omega $. Ce n'est pas trop dur à démontrer si l'on suppose que l'inégalité est stricte, ie, si $ \Delta u> 0 $. On peut déduire le cas général de ce cas particulier avec un peu de travail (ce n'est pas évident).

PARTIE 2:
La matrice A est comme indiquée dans le titre de la partie une matrice de discrétisation. Dans la grande majorité des cas, on ne peut pas calculer des solutions exactes aux EDO. Une méthode possible pour étudier le comportement des solutions d'une EDO est d'effectuer le calcul de solutions numériques. Pour cela il faut discrétiser le problème car les ordinateurs ne traitent que des données discrètes. L'idée est de se donner un pas d'espace $ h=1/(n+1) $ et de supposer $ U_k\approx u(kh) $ pour $ k $ entier entre $ 0 $ et $ n+1 $. Un développement de Taylor nous donne
$$
-u''(x)=\frac{-u(x-h)+2u(x)-u(x+h)}{h^2}+O(h^2).
$$
L'opérateur du moins Laplacien 1D peut être discretisée à l'ordre deux.
$$
\frac{U_{k-1}+2U_k-U_{k+1}}{h^2}
$$
C'est ce qu'on appelle la méthode des différences finies en 1D. Sous forme matricielle, en tenant compte des conditions de bords et en supprimant $ U_0 $ et $ U_{n+1} $ de la liste d'inconnu, cela nous donne la matrice $ A/h^2 $. Il reste à discrétiser $ c(x)u(x) $ et $ f(x) $ pour obtenir un système linéaire sur $ (U_k)_{1\leq k\leq N} $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Messages : 4

Enregistré le : 19 avr. 2018 12:38

Re: Sujet X-ENS PSI Mathématiques 2018

Message par solarwitness » 27 avr. 2018 22:44


Répondre