système générateur

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suvictor

système générateur

Message par suvictor » 11 nov. 2006 21:40

Bonjour

Comment faire pour montrer qu'un systeme est générateur?

Dans l'espace vectoriel de R2, trois vecteur définis par vecteur u=(1,2), vecteur v = (1,3) et vecteur w=(1,4)

Le systeme S=(vecteurs u,v,w) est-il generateur?, est-il libre?
Extraire une base de R2

Merci

MooMooB

Re: système générateur

Message par MooMooB » 11 nov. 2006 21:58

suvictor a écrit : Comment faire pour montrer qu'un systeme est générateur?
Ben tu prends un vecteur $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $et tu cherches à l'ecrire comme combinaison linéaire de $ u $,$ v $ et $ w $, ie cherches $ (\alpha, \beta,\gamma) $ tel que $ (a,b) = \alpha u + \beta v + \gamma w $ (s'il n'y en a pas, le système $ (u,v,w) $ n'est pas générateur).

RP1700

Message par RP1700 » 11 nov. 2006 22:36

Euh... inutile de s'embêter avec un système je crois.

On est en dimension 2, donc toute famille libre de 2 vecteurs est une base, à fortiori génératrice.

Même type de raisonnement pour justifier que la famille est liée.

suvictor

Message par suvictor » 11 nov. 2006 22:48

ok merci

au faite on fait comment pour résoudre

$ \left\{x=\alpha+\beta+\gamma\\y=2\alpha+3\beta+4 \gamma $ ?

RP1700

Message par RP1700 » 11 nov. 2006 22:59

Tu as 3 inconnues et 2 équations (non colinéaires), donc tu vas avoi une infinité de solutions. Il faut donc fixer un paramère, par exemple alpha, et résoudre le système, avec 2 inconnues, beta et gamma (alpha est supposé connu).

Le résultat sera un truc du genre :

$ \alpha=\alpha,\beta=\alpha+x,\gamma=\alpha-y $

Ca veut dire que pour n'importe quelle valeur de alpha, si tu choisi beta et gamma comme indiqué, le système sera valable.

Pour résoudre, soit tu extrais "à la main" beta et gamma, soit tu utilises la formule de cramer (un peu plus bourrin, mais marche bien pour un petit système comme ça).

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Message par JeanN » 12 nov. 2006 00:11

La méthode du pivot de Gauss est souvent plus efficace que les formules de Cramer (au moins en dimension >2...)
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

Message par » 12 nov. 2006 00:46

Non seulement elle l'est toujours dès que n>2 mais en plus elle est beaucoup plus intéressante pour comprendre l'algèbre linéaire. Que ce soit pour calculer un rang, inverser une matrice ou encore déterminer les éléments propres.

RP1700

Message par RP1700 » 12 nov. 2006 00:49

Mû a écrit :Non seulement elle l'est toujours dès que n>2 mais en plus elle est beaucoup plus intéressante pour comprendre l'algèbre linéaire. Que ce soit pour calculer un rang, inverser une matrice ou encore déterminer les éléments propres.
Taisez-vous donc, vous allez vous attirer les foudres d'une des profs de maths qui fréquente ce forum :mrgreen:

Le pivot de gauss, c'est très mal, car ça casse l'endomorphisme associé à la matrice, c'est pas propre, et il faut l'utiliser le moins souvent possible :!:

Message par » 12 nov. 2006 01:07

RP1700 a écrit :Le pivot de gauss, c'est très mal, car ça casse l'endomorphisme associé à la matrice, c'est pas propre, et il faut l'utiliser le moins souvent possible :!:
Chic, une discussion de philosophie des maths ;-)
Eh bien moi je dis: un endomorphisme en dimension finie, c'est mal, ça fait oublier que ça ne représente qu'un malheureux système d'équations.

RP1700

Message par RP1700 » 12 nov. 2006 01:51

En même temps je ne fais que répéter ce qu'on m'a appris :mrgreen:

Mais à ce compte là, si on poursuit votre argument, tout l'algèbre linéaire en dimension finie n'est qu'un ensemble de systèmes d'équations non ?

Contrairement au pivot de gauss, qui est juste un algorithme "pratique", les applications linéaires en dimension finie ont leur utilité pour traiter tel ou tel phénomène (utilisation des propriétés des projecteurs, géométrie en dimension 3, équations différentielles linéaires, calcul matriciel, relations entre plusieurs espaces ...). C'est pourquoi il est utile de conserver leur structure afin de pouvoir utiliser les propriétés qui leur sont associées. D'autant plus que c'est juste un changement de point de vue non destructif (me corriger si je me trompe), contrairement au pivot, qui casse tout sur son passage.

Et puis, en maths, les changements de points de vue de cette sorte sont souvent utiles pour se sortie de situations à priori inextricables. D'ailleurs, rien que pour l'étude des polynômes, on jongle avec l'algèbre linéaire, l'analyse et les structures d'anneaux, pourtant personne ne s'en formalise. Pourquoi alors se priver de jongler avec les systèmes et les endomorphismes ? (d'autant plus que l'on convient facilement que dans certains cas, cela facilite grandement la vie !)

Donc je ne vois pas cela comme une tare. Après je suis seulement en spé, il me reste pas mal de choses à apprendre...

EDITION :

d'ailleurs ça me rapelle un exercice que j'avais trouvé intéressant dans un bouquin : on nous demande de prouver que quel que soit un polynôme de degré 8 (ou quelque chose dans le genre), son intégrale entre 2 bornes particulières était égale à une constante assez alambiquée. Evidemment, le calcul direct était assez pénible. Il suffisait de remarquer que la propriété était linéaire, et qu'il était nécéssaire et suffisant de faire le calcul pour 1 base de IR[X]. Du coup ça prenait 2 minutes à faire.

Là aussi, le changement de point de vue est synonyme de gain de temps, bref, les changements de point de vue, c'est bien :D

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