Endomorphisme Bornée
Endomorphisme Bornée
Bonjour,
je rencontre une difficulté à définir le caractère borné d'un endomorphisme, pourriez-vous m'aider ?
Pour le contexte je devais montrer que :
Pour E un R-ev de dimension n et K un compact de E
Si Vect(K)=E alors L_k={f appartenant à L(E) tel que f(K) inclu dans K} est compact
En effet je peux justifier le caractère fermé de cet un ensemble mais je n'arrive pas à justifier le fait qu'il soit bornée sans utiliser la norme triple (Qui n'est pas au programme)
je rencontre une difficulté à définir le caractère borné d'un endomorphisme, pourriez-vous m'aider ?
Pour le contexte je devais montrer que :
Pour E un R-ev de dimension n et K un compact de E
Si Vect(K)=E alors L_k={f appartenant à L(E) tel que f(K) inclu dans K} est compact
En effet je peux justifier le caractère fermé de cet un ensemble mais je n'arrive pas à justifier le fait qu'il soit bornée sans utiliser la norme triple (Qui n'est pas au programme)
2015-2016 : MPSI Janson de Sailly
2016-2017 : MP* Janson de Sailly
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Re: Endomorphisme Bornée
Comme vect(K)=E K contient une base e1..en de E. Il suffit de considérer la norme valant la somme des valeurs absolues des u(ei) qui te donne facilement le caractère borné.
Re: Endomorphisme Bornée
Merci pour la réponse,
Pourrais tu rédiger la preuve s'il te plait ?
2015-2016 : MPSI Janson de Sailly
2016-2017 : MP* Janson de Sailly
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Re: Endomorphisme Bornée
Comme vect(K)=E K contient une base $ e_{1} \dots e_{n} $ de E.
$ N(f)=\sum \limits_{i=1}^{n} |f(e_{i})| $ est une norme sur L(E). L'homogénéité est immédiate. L'inégalité triangulaire ne pose pas de problème. La positivité est évidente, et si $ N(f)=0 $ f est nulle sur une base de E, donc nulle.
Soit $ r>0 $ tel que $ K\subset B(0,R) $ (K est borné). Pour tout f telle que $ f(K) \subset K, N(f)\leq nR $. Ainsi la partie en question est bornée.
$ N(f)=\sum \limits_{i=1}^{n} |f(e_{i})| $ est une norme sur L(E). L'homogénéité est immédiate. L'inégalité triangulaire ne pose pas de problème. La positivité est évidente, et si $ N(f)=0 $ f est nulle sur une base de E, donc nulle.
Soit $ r>0 $ tel que $ K\subset B(0,R) $ (K est borné). Pour tout f telle que $ f(K) \subset K, N(f)\leq nR $. Ainsi la partie en question est bornée.
Re: Endomorphisme Bornée
Merci beaucoup !
2015-2016 : MPSI Janson de Sailly
2016-2017 : MP* Janson de Sailly
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