Erreur de raisonnement

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Erreur de raisonnement

Message par AurelO » 19 juil. 2018 15:11

Bonjour,

Je n'arrive pas à cerner l'erreur de raisonnement que je fais lorsque je pense au sujet suivant, si quelqu'un pouvait m'orienter...(pour les puristes je ne suis plus en prépa depuis longtemps, donc la formulation est certainement artisanale).

Si je prends deux cercles concentriques du plan, centrés en 0 et de rayon R et 3R par exemple.
Ensuite, je considère la demie-droite Ox croissants. Elle coupe chaque cercle en 1 point.
Je la fais tourner d'un tour. Tout au long de cette rotation elle coupe chaque cercle en un point.
J'imagine donc créer ainsi une bijection entre les deux cercles.
Donc, il y a le même nombre d'éléments (ie de points) dans les deux cercles). Mais 2PiR<2Pi3R. Ce qui me semble contradictoire (même nb de points mais pas "même longueur").

Je sens bien que le raisonnement pêche de coté indénombrabilité de la chose mais j'aimerais structurer la réponse.

Merci

Aurélien.

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Re: Erreur de raisonnement

Message par Zetary » 19 juil. 2018 15:14

Bonjour

Ce n’est pas contradictoire, la longueur n’est pas invariante par bijections (exemple x -> 2x de [0,1] dans [0,2] est une bijection)

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Re: Erreur de raisonnement

Message par U46406 » 19 juil. 2018 15:18

Et si tu passes en géométrie polaire avec des coordonnées polaires ?
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait) :mrgreen:

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Re: Erreur de raisonnement

Message par AurelO » 19 juil. 2018 15:21

Oui j'y ai pensé, mais c'est indépendant je pense de la où je coince.

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).

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Re: Erreur de raisonnement

Message par U46406 » 19 juil. 2018 15:35

En polaires, tu as Theta qui varie de 0 à 2 Pi ...

Tu as lu le message de Zetary ?

Tu as des soucis philosophiques par rapport à l'ensemble des réels R ??
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Re: Erreur de raisonnement

Message par Zetary » 19 juil. 2018 15:41

AurelO a écrit :
19 juil. 2018 15:21
Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).
non si c’est la question, tous les points du deuxième cercle sont bien atteints

si tu veux (x,y) -> (3x, 3y) est la bijection entre tes deux cercles effectuée par ta demi-droite (en coordonnées cartésiennes)

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Re: Erreur de raisonnement

Message par AurelO » 19 juil. 2018 16:39

Zetary a écrit :
19 juil. 2018 15:41
AurelO a écrit :
19 juil. 2018 15:21
Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).
non si c’est la question, tous les points du deuxième cercle sont bien atteints

si tu veux (x,y) -> (3x, 3y) est la bijection entre tes deux cercles effectuée par ta demi-droite (en coordonnées cartésiennes)
Ok merci pour tes réponses.

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Re: Erreur de raisonnement

Message par jmctiti » 19 juil. 2018 17:07

Bonsoir

Il ne faut pas confondre la longueur d'un cercle de rayon $ R $, qui vaut $ 2 \pi R $,
avec le nombre de points qu'il contient, qui est toujours infini (sauf pour le cercle point, cad lorsque $ R=0 $).

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Re: Erreur de raisonnement

Message par siro » 19 juil. 2018 17:56

AurelO a écrit :
19 juil. 2018 15:21
Oui j'y ai pensé, mais c'est indépendant je pense de la où je coince.

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).
Hé bien... non.

Il y a autant d'éléments dans n'importe quel segment réel [a,b] où a<b. En fait, par définition, deux ensembles ont le même nombre d'éléments lorsqu'il existe une bijection entre ces deux ensembles.

En gros, imagine ton cercle de rayon R, bah tu peux l'étirer d'un facteur 2, 3, 50, 10^42, tu auras un cercle sans aucun "trou". This is la puissance du continu.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Erreur de raisonnement

Message par U46406 » 19 juil. 2018 18:15

siro a écrit :
19 juil. 2018 17:56
la puissance du continu.
Y a-t-il un lien avec la notion de topologie ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervall ... du_continu
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