Exercice sur la divisibilité et les puissances

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Exercice sur la divisibilité et les puissances

Message par antoine974 » 01 août 2018 10:11

Bonjour à toutes et à tous, je m'appelle antoine, je suis nouveau sur le forum et j'aimerai bien avoir de l'aide sur un exercice de MPSI que je n'arrive pas à faire svp, voici l'énoncé: Soient un entier a>=2 et (m,n)∈N2. Montrer: n|m⇐⇒(a^n−1)|(a^m−1). Pour le sens direct, j'ai fait ceci: on suppose que n|m. Il existe k∈N, m=nk. Montrons que n|nk =>(a^n−1)|(a^nk−1)
=>(a^n-1)|((a^n)^k-1^k). A partir de là je suis bloqué, je voudrai factoriser par a^n -1 mais je ne sais pas comment faire.
Pouvez-vous m'aider? Merci d'avance,
Antoine

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Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances

Message par bullquies » 01 août 2018 10:36

indice: x^p-1 = (x-1)(1+x+x^2...+x^(p-1))
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances

Message par BobbyJoe » 01 août 2018 10:39

Pour le sens direct, connais-tu la forme de Bernoulli (ou la formule d'une somme géométrique)?
Pour la réciproque, on effectue la division euclidienne de $ $$m$ par $ $$n.$ On a alors $m=un+v$ pour un certain couple $ $$(u,v)$ d'entiers tel que $ $$0 \leq v <n.$ On écrit alors $ $$$a^{m}-1=a^{un+v}-1=(a^{un}-1)a^{v}+a^{v}-1$$ avec $ $$0\leq a^{v}-1<a^{n}-1.$ Par hypothèse et par le premier point de la preuve, on a alors que $ $$a^{n}-1$ divise $a^{v}-1.$ Ceci n'est possible que si $ $$a^{v}=1,$ ce qui implique que $ $$v=0$ et ainsi $ $$n$ divise $ $$m.$
(Pour aller plus vite, on peut aussi utiliser l'unicité de la division euclidienne).

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Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances

Message par antoine974 » 13 août 2018 13:38

bullquies a écrit :
01 août 2018 10:36
indice: x^p-1 = (x-1)(1+x+x^2...+x^(p-1))
Merci pour la formule! je l'avais complètement zappée celle là! :)
Merci bobbyjoe pour ton aide! elle m'est vachement précieuse! :D et juste pour le sens direct, c'est quoi la forme de Bernoulli?

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Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances

Message par BobbyJoe » 13 août 2018 15:04

La formule de Bernouilli est la formule que t'a rappelée Bulquies (sa version homogénéisée...)

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