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Exercice sur la divisibilité et les puissances
Publié : 01 août 2018 10:11
par antoine974
Bonjour à toutes et à tous, je m'appelle antoine, je suis nouveau sur le forum et j'aimerai bien avoir de l'aide sur un exercice de MPSI que je n'arrive pas à faire svp, voici l'énoncé: Soient un entier a>=2 et (m,n)∈N2. Montrer: n|m⇐⇒(a^n−1)|(a^m−1). Pour le sens direct, j'ai fait ceci: on suppose que n|m. Il existe k∈N, m=nk. Montrons que n|nk =>(a^n−1)|(a^nk−1)
=>(a^n-1)|((a^n)^k-1^k). A partir de là je suis bloqué, je voudrai factoriser par a^n -1 mais je ne sais pas comment faire.
Pouvez-vous m'aider? Merci d'avance,
Antoine
Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances
Publié : 01 août 2018 10:36
par bullquies
indice: x^p-1 = (x-1)(1+x+x^2...+x^(p-1))
Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances
Publié : 01 août 2018 10:39
par BobbyJoe
Pour le sens direct, connais-tu la forme de Bernoulli (ou la formule d'une somme géométrique)?
Pour la réciproque, on effectue la division euclidienne de $ $$m$ par $ $$n.$ On a alors $m=un+v$ pour un certain couple $ $$(u,v)$ d'entiers tel que $ $$0 \leq v <n.$ On écrit alors $ $$$a^{m}-1=a^{un+v}-1=(a^{un}-1)a^{v}+a^{v}-1$$ avec $ $$0\leq a^{v}-1<a^{n}-1.$ Par hypothèse et par le premier point de la preuve, on a alors que $ $$a^{n}-1$ divise $a^{v}-1.$ Ceci n'est possible que si $ $$a^{v}=1,$ ce qui implique que $ $$v=0$ et ainsi $ $$n$ divise $ $$m.$
(Pour aller plus vite, on peut aussi utiliser l'unicité de la division euclidienne).
Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances
Publié : 13 août 2018 13:38
par antoine974
bullquies a écrit : ↑01 août 2018 10:36
indice: x^p-1 = (x-1)(1+x+x^2...+x^(p-1))
Merci pour la formule! je l'avais complètement zappée celle là!
Merci bobbyjoe pour ton aide! elle m'est vachement précieuse!
et juste pour le sens direct, c'est quoi la forme de Bernoulli?
Re: Exercice sur la divisibilité et les puissances
Publié : 13 août 2018 15:04
par BobbyJoe
La formule de Bernouilli est la formule que t'a rappelée Bulquies (sa version homogénéisée...)